Прикладная математика (стр. 5 из 14)

4y₁ + 2y₃ ³ 25

5y₁ + 2y₂ + 5y₃ ³ 50

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными

y₁

0, y₂ 0, y₃ 0. (3)

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений

(х₁, х₂, х₃, х₄) и (y₁, y₂, y₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий

x ₁ (4y₁ + 2y₂ + 3y₃ - 36) = 0 y₁ (4x₁ +3x₂ + 4x₃ + 5x₄ - 208) = 0

x ₂ (3y₁ + 5y₂ + y₃ - 14) = 0 y₂ (2x₁ +5x₂ + 2x₄ - 107) = 0

x ₃ (4y₁ + 2y₃ - 25) = 0 y₃ (3x₁ + x₂ + 2x₃ + 5x₄ - 181) = 0 .

x ₄(5y₁ + 2y₂ + 5y₃ - 50) = 0

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи х₁>0, x₄>0. Поэтому

4y₁ + 2y₂ + 3y₃ - 36 = 0

5y₁ + 2y₂ + 5y₃ - 50 = 0

Если же учесть, что второй ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю

у₂=0,

то приходим к системе уравнений

4y₁ + 3y₃ - 36 = 0

5y₁ + 5y₃ - 50 = 0

откуда следует

у₁=6, у₃=4.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у₁=6; у₂=0; у₃=4, (4)

причем общая оценка всех ресурсов равна 1972.

Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная оценка третьего ресурса у₃=4 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 4 единицы.

§6. Задача о "расшивке узких мест производства"

При выполнении оптимальной производственной программы первый и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют ²узкие места производства². Будем их заказывать дополнительно. Пусть T(t₁,t₂,t₃)- вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

H + Q^-1T

0.

Задача состоит в том, чтобы найти вектор

T (t₁, 0, t₃),

максимизирующий суммарный прирост прибыли

W = 6t₁ + 4t₃ (1)

при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы)