Прикладная математика (стр. 9 из 14)
W2(2;0) = 22 +5×2 + 2 + 3×0 +F1(0) =16+8=24*
y3 = 1 0 £ x2£ 3x2 = 0
x2 = 1
x2 = 2
x2 = 3
y2 = 3 - 0 = 3
y2 = 3-1 = 2
y2 = 3-2 = 1
y2 = 3-3 = 0
W2(0;1) = 02 + 5×0 + 2 + 3×1 + F1(3) = 5+41=46
W2(1;1) = 12 + 5×1 + 2+ 3×1 + F1(2)=11+28 =39
W2(2;1) = 22 + 5×2 + 2 + 3×1 + F1(1)=19+17 =36*
W2(3;1) = 32 + 5×3+ 2 + 3×1 + F1(0)=29+8 =37
y3 = 2 ....................... ........ ............................ ............................................................. y3 = 3 0 £ x2£ 5x2 = 0
x2 = 1
x2 = 2
x2 = 3
x2 = 4
x2 = 5
y2 = 5 - 0 = 5
y2 = 5 - 1 = 4
y2 = 5 - 2 = 3
y2 = 5 - 3 = 2
y2 = 5 - 4 = 1
y2 = 5 - 5 = 0
W2(0;3) = 02 + 5×0 + 2 + 3×3 + F1(5) = 11+73=84
W2(1;3) = 12 + 5×1 + 2+ 3×3 + F1(4)=17+56 =73
W2(2;3) = 22 + 5×2 + 2 + 3×3 + F1(3)=25+41 =66
W2(3;3) = 32 + 5×3+ 2 + 3×3 + F1(2)=35+28 =63*
W2(4;3) = 42 + 5×4 + 2 + 3×3 + F1(1)=47+17 =64
W2(5;3) = 52 + 5×5+ 2 + 3×3 + F1(0)=61+8 =69
y3 = 4 0 £ x2£ 6x2 = 0
x2 = 1
x2 = 2
x2 = 3
x2 = 4
x2 = 5
x2 = 6
y2 = 6 - 0 = 6
y2 = 6 - 1 = 5
y2 = 6 - 2 = 4
y2 = 6 - 3 = 3
y2 = 6 - 4 = 2
y2 = 6 - 5 = 1
y2 = 6 - 6 = 0
W2(0;4) = 02 + 5×0 + 2 + 3×4 + F1(6) = 14+92=106
W2(1;4) = 12 + 5×1 + 2+ 3×4 + F1(5)=20+73 =93
W2(2;4) = 22 + 5×2 + 2 + 3×4 + F1(4)=28+56 =84
W2(3;4) = 32 + 5×3+ 2 + 3×4 + F1(3)=38+41 =79
W2(4;4) = 42 + 5×4 + 2 + 3×4 + F1(2)=50+28 =78*
W2(5;4) = 52 + 5×5+ 2 + 3×4 + F1(1)=64+17 =81
W2(6;4) = 62 + 5×6+ 2 + 3×4 + F1(0)=80+8 =88
| Таблица 4 |
 |  | xk | yk = yk+1 + dk - xk | Wk(xk, yk+1) = jk(xk) + hkyk+1 + Fk-1(yk) | |
| 0 £ y4£ 0 | x = y4 | 0 £ x3£ d3 + y4 | x3 | y3 = y4 + d3 - x3 | W3(x3, y4) = a  + bx3 + c + h3y4 + F2(y3) |
| y4 = 0 | x = y4 | 0 £ x3£ 4 | x3 | y3 = y4 + 4 - x3 |  |
| y4 = 0 | 0 £ x3£ 4 | x3 = 0 x3 = 1 x3 = 2 x3 = 3 x3 = 4 | y3 = 4-0 = 4 y3 = 4- 1 = 3 y3 = 4-2 = 2 y3 = 4-3 = 1 y3 = 4-4 = 0 | W3(0;0) = 02 + 5×0 + 2 + 2×0 + F2(4)=2+78=80 W3(1;0)= 12 + 5×1 + 2 + 2×0 + F2(3)=8+63=71 W3(2;0)= 22 + 5×2 + 2 + 2×0 + F2(2)=16+49=65 W3(3;0) = 32 + 5×3 + 2 + 2×0 + F2(1)=26+36=62* W3(4;0)= 42 + 5×4 + 2 + 2×0 + F2(0)=38+24=62* |
Самопроверка результатов Таблица 5
| Этапы | январь | февраль | март | Итого за 3 месяца |
| Имеем продукции к началу месяца, шт. | у1 = 2 | у2 = 1 | у3 = 1 | у1 = 2 |
| Производим в течение месяца, шт. | х1 = 2 | х2 = 2 | х3 = 3 | х1+ х2+ х3 = 7 |
| Отпускаем заказчикам, шт. | d1 = 3 | d2 = 2 | d3 = 4 | d1+ d2+ d3 = 9 |
| Остаток к концу месяца (храним в течение текущего месяца), шт. | у2 = 1 | у3 = 1 | у4 = 0 | |
| Затраты на производство, руб. | j(х1)=16 | j(х2)=16 | j(х3)=26 | j(х1) + j(х2) + j(х3) = 58 |
| Затраты на хранение, руб. | h1у2 =1 | h2у3 =3 | 0 | h1у2 + h2у3 = 4 |
2 + у2 - 2 = 1,
получаем
у2 = 1;
из таблицы (2) значений х1(x) находим
.Итак, оптимальный план производства имеет вид
х1 = 2
х2 = 3
х3 = 3,
а минимальные общие затраты составляют 62 единицы.
Полезна самопроверка полученного результата. Для этого по исходным данным и найденному плану производства заполняем таблицу 5 и убеждаемся, что заявки потребителей на каждом этапе выполняются
у1+х1³ d1у2+х2³ d2у3+х3³ d3
2 + 2 ³ 3 1 + 2 ³ 2 1 + 3 ³ 4
и что суммарный объем производства и имевшегося к началу первого этапа запаса продукции равен суммарной потребности
у1 + х1 + х2 + х3 = d1 + d2 + d3
2 + 2 + 2 + 3 = 3 + 2 + 4
причем это достигается при наименьших возможных затратах на производство и хранение продукции
j(х1) + j(х2) + j(х3) + h1у2 + h2у3 = F3(y4=0)
16 + 16 + 26 + 1 + 4 = 62
Студенту рекомендуется найти другой вариант оптимальной производственной программы, когда на последнем этапе предполагается произвести 4 единицы продукции, и так же выполнить самопроверку.
§10. Матричная модель производственной
программы предприятия
Предприятие состоит из n цехов. Каждый цех выпускает только один вид продукции. Пусть j-й цех выпускает xjединиц продукции, из которых yj единиц отправляет за пределы предприятия как товарную продукцию, а остающаяся часть используется другими цехами предприятия.
Пусть ajk – кол-во продукции j-го цеха, расходуемое на производство единицы продукции k-го цеха. Числа aij образуют матрицу А коэффициентов прямых затрат, называемую структурной. Производственная программа предприятия представляется вектором X(x1, … , xn), а выпуск товарной продукции – вектором У(у1, … , уn). Очевидно,
(Е - А)Х = У или Х = (Е - А)-1У.
Элементы любого столбца матрицы (Е - А)-1, называемой матрицей коэффициентов полных затрат, показывают затраты всех цехов, необходимые для обеспечения выпуска единицы товарного продукта того цеха, номер которого совпадает с номером данного столбца.
При заданном векторе У выпуска товарной продукции легко определить производственную программу Х и наоборот.
В = (Е - А)-1У = S
Зная закупочные цены сырья и рыночные цены готовой продукции, можно подсчитать прибыль.
§11. Матричная игра как модель конкуренции
и сотрудничества
Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей
. Пусть стратегия Первого есть 
, а Второго – 
. Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.) 
с рядом распределения:  |  | … |  | … |  |
 | … |  | … |  |
есть средний выигрыш Первого. Пусть 
есть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. 
риском для Первого при игре со стратегиями 
. Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, то 
вполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.