Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов (стр. 2 из 6)

Аналогично, применяя формулу трапеции к другим интегралам (10), найдем:

или

,

а также

.

Положим сначала k=12 и будем исходить из двенадцати ординат

,

отвечающих двенадцати ординатам равноотстоящих значениям аргумента:

,

Все множители, на которые придется умножить эти ординаты, по формулам приведения сведутся к следующим:

.

Именно легко проверить, что

(11)

Например,

что совпадает с написанным выше выражением.

Для того чтобы свести выкладки (особенно - умножение) к минимуму, их производят по определенной схеме, предложенной Рунге.

Сначала выписываются в указанном ниже порядке ординаты и над каждой парой подписанных одна под другой ординат производят сложение и вычитание:

ординаты
суммы
разности

Затем аналогично выписывают эти суммы и разности и снова подвергают их сложению и вычитанию:

суммы
суммы
разности

разности
суммы
разности

Теперь, получив после всех этих сложений и вычитаний ряд величин

, мы можем следующим образом выразить через них искомые коэффициенты:

(12)

Нетрудно убедится, что эти формулы в точности соответствуют формулам (11).

3.1.1.2. Примеры.

1) Дана некоторая диаграмма касательных усилий (на пальце кривошипа) для некоторой паровой машины. В связи с вопросом о крутильных колебаниях вала представляет интерес выделить гармонические составляющие касательного усилия Т как функции от угла

поворота кривошипа. Сняв с графика двенадцать равноотстоящих ординат, произведем гармонический анализ по указанной схеме:

T	-7200	-300	7000	4300	0	-5200	-7400
	250	4500	7600	3850	-2250
U	-7200	-50	11500	11900	3850	-7450	-7400
V	-550	2500	-3300	-3850	-2950

u	-7200	-50	11500	11900
	-7400	-7450	3850
s	-14600	-7500	15350	11900
d	200	7400	7650

V	-550	2500	-3300
	-2950	-3850
	-3500	-1350	-3300
	2400	6350

Теперь по формулам (12):

Таким образом,

Объединим члены, содержащие косинус и синус одного и того же угла:

Мы видим, что наиболее сильное влияние здесь оказывает вторая гармоника.

2) Для того чтобы дать себе отчет в том, с какой примерно точностью получаются коэффициенты Фурье функции по двенадцати ординатам ее графика, мы приложим изложенный метод к некоторым аналитически заданным функциям и сравним приближенные результаты с точными.

Сначала рассмотрим функцию

, которую в промежутке задается формулой

,

А для остальных значений x определяется по закону периодичности

.

Вычислим табличку:

x	0												2
y	0	0.400	0.582	0.589	0.465	0.255	0	-0.255	-0.465	-0.589	-0.582	-0.400	0

При этом можно использовать легко проверяемое тождество: