Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов (стр. 3 из 6)

По схеме Рунге по этим значениям yнайдем:

b1=0.608; b2=0.076; b3=0.022;

все числа

, а с ними и все коэффициенты оказываются нулями.

В то же время формулы (10) непосредственно дают (с помощью трехкратного интегрирования по частям):

,

Так что

; ; .

Совпадение превосходное!

3) Однако далеко не всегда получается столь точный результат. В виде второго примера мы возьмем функцию с периодом

, которая в промежутке определяется так:

.

Пользуясь тождеством:

,

составим таблицу:

x	0												2
y	1	0,694	0,444	0,250	0,111	0,028	0	0,028	0,111	0,250	0,444	0,694	1

Тогда по схеме Рунге

числа же

и коэффициенты - на этот раз нули. Точные значения коэффициентов будут:

в частности,

; ; .

Таким образом, если для первых двух коэффициентов относительная погрешность не превосходит 1,5-2 %, то для последующих она достигнет10% и даже 20%! Ясно, что для повышения этой точности нужно брать больше ординат.

3.1.1.3. Схема для двадцати четырех ординат.

Положим теперь, что даны или сняты с графика двадцать четыре ординаты:

,

отвечающие значениям аргумента:

,

или

.

На этот раз все множители, на которые при приближенном вычислении коэффициентов Фурье приходится умножать ординаты, сведутся к таким:

Не вдаваясь в подробности (ввиду полной аналогии с предыдущим), приведем сразу схему вычислений, также предложенную Рунге. Ввиду вышеизложенного опыта следующая схема идет без пояснений. Вот она:

ординаты

Суммы

разности

Суммы
Суммы
разности

Суммы
Суммы
разности

Суммы
Суммы
разности

разности
суммы
разности

Отметим, что с величинами q и r нет надобности проделывать сложения и вычитания.