"Инкарнация" кватернионов (стр. 1 из 3)

«Инкарнация» кватернионов

Вводные замечания

Кватернион, долгие годы считавшийся бесперспективным с подачи ортодоксальных математиков [1], в настоящее время начинает свое триумфальное шествие по науке (физика, химия кристаллов, информатика) и информационно-интерактивным технологиям.

Своим открытием и названием сам кватернион обязан ирландскому математику У.Р. Гамильтону (1805–1865) [2].

Уильям Роуан Гамильтон был человеком многосторонне развитым. В четырнадцать лет владел девятью языками, в 19 лет опубликовал в трудах Королевской Ирландской Академии работу, посвященную геометрической оптике, а в 23 года получил звание королевского астронома Ирландии. К 1833 г. Гамильтон занимал пост директора обсерватории в Денсинке и был известен работами по оптике и аналитической механике. Он предсказал эффект двойной конической рефракции в двуосных кристаллах.

В числе других математических задач он 10 лет безуспешно пытался найти описание поворотов трехмерного пространства на основе алгебры трехмерных чисел, пока не увидел, что их описание соответствует другой алгебре не с двумя мнимыми числами, а с тремя. Общепризнанно, что от типа алгебры, которой подчинена та или иная природная система, зависят ее геометрия, физические законы сохранения.

В одном из писем к своему сыну У.Р. Гамильтон писал: «Это был 16-й день октября, который случился в понедельник, в день заседания Совета Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснула искра, предвещающая многие длительные годы определенно направленной мысли и труда, моего – если доведется, или труда других, если мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k, содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась. Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где засвидетельствовано, что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в Понедельник 13-го следующего месяца – ноября».

Стоит упомянуть, что оригинальное описание движения твердого тела с помощью кватерниона дал в 1873 году У. Клиффорд (1845–1879), а А.П. Котельникову (1865–1944) в 1895 году удалось истолковать все формулы теории кватернионов, как «неразвернутые» формулы теории обобщенных, т.н. дуальных кватернионов [3–6]. Применительно к кинематике этот подход устанавливает соотношение между движениями тела с одной неподвижной точкой и движениями произвольного вида [7].

Постановка проблемы

В различных разделах математики возникает потребность рассматривать векторные пространства (над данным полем k), в которых кроме действий сложения и умножения на скаляры определено еще действие умножения, сопоставляющее каждой упорядоченной паре векторов третий вектор того же пространства – их произведение. В этой ситуации всегда естественно предполагать, что результат умножения λy линеен по каждому из множителей при фиксированном втором, то есть:

,

Пространство с умножением, удовлетворяющим такому требованию билинейности, называется алгеброй над полем k.

Алгеброй кватернионов называется алгебра размерности 4 над основным полем, обладающим единицей 1 и имеющим базис 1, i, j, k со следующей таблицей умножения [1]:

x i j ki -1 k jj – k -1 ik – j – i -1

Или в более удобной форме:

При этом основное поле может быть взято произвольно.

Алгебра кватернионов над полем R

Наиболее интересной является алгебра кватернионов над полем R вещественных чисел.

Прежде всего, установим ассоциативность алгебры кватернионов. Для этого следует проверить 27 равенств: по три возможности для каждого из 3-х множителей в равенствах типа (ab) c=а(bc), проверяемых для базисных элементов i, j, k.

Избежать этого можно, установив изоморфизм алгебры кватернионов над

и некоторой алгебры матриц специального вида над C. Единице сопоставим единичную матрицу 2-го порядка, матрицу

(здесь i – мнимая единица, ), матрицу и матрицу .

Отсюда следуют равенства:

(проверить знак) Они означают, что пространство матриц Е, I, Y, K образуют алгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

На основании ассоциативности умножения матриц делаем заключение об ассоциативности алгебры кватернионов.

Заметим, что если за основное поле принято поле C комплексных чисел, то алгебра кватернионов над C окажется изоморфной алгебре М₂(C) всех квадратных матриц 2-го порядка над C, ибо матрицы Е, I, J, K линейно независимы над C и их линейные комбинации заполняют всю алгебру М₂(C).

Связь алгебры кватернионов с векторами в трехмерном эвклидовом пространстве

Пусть α = а + вi + сj + dk – кватернион. Число а называется скалярной частью кватерниона. Сумма вi + сj + dk называется векторной частью кватерниона α. Кватернион с нулевой скалярной частью будем называть векторами, они, естественно, изображаются как векторы трехмерного эвклидова пространства.

Пусть

и – два вектора-кватерниона. Вычислим их произведение (в алгебре кватернионов):

Здесь

– векторное, а (u₁, u₂₎ – скалярное произведение кватернионов U₁и U₂. Таким образом, скалярной частью кватерниона-произведения U₁U₂ оказывается скалярное произведение векторов u₁и u₂, взятое с обратным знаком. Векторная же часть кватерниона u₁u₂ равна вектору произведения векторов u₁, u₂. Тем самым операция умножения векторов как элементов алгебры кватернионов как бы объединяет оба умножения векторов – скалярное и векторное.

Далее, можно видеть, что:

Отсюда,

Из последней формулы следует известное в векторной алгебре соотношение Якоби для условных u₁, u₂, u₃:

[u₁, u₂, u₃] + [[u₂, u₃], u₁] + [[u₃, u₁], u₂] = 0.

Для этого достаточно принять во внимание связь между ассоциативными алгебрами и алгебрами Ли.

Алгебра кватернионов как алгебра с делением

Пусть дан кватернион α = а + вi + сj + dk = а + u.

Кватернион

= а – вi – сj – dk = а – u, отличающийся от α знаком векторной части, называется сопряженным с кватернионом α. Ясно, что .

Умножим кватернион α на сопряженный ему

. Получим

α

= (а + u) (а – u) = а² + аu– аu– u²= a²+ (u, u) – [u, u] = а²+ (u, u) = а² + в² + с² + d².

Поэтому, если α ≠0, то α

>0. Заметим еще, что α = α.

Число

называется модулем (нормой) кватерниона α и обозначается через модуль . Теперь легко установить, что каждый, отличный от 0 кватернион α имеет обратный. Действительно, , так что обратным кватернионом для кватерниона α является . Таким образом, алгебра кватернионов над полем R есть алгебра с делением. Заметим, что здесь существенно было использовано то обстоятельство, что за основное поле принято поле R, заключение о неравенстве a² + b² + d²≠ 0 при α ≠0 было бы неверно, например, для поля C или для вычетов по простому модулю.