*-Алгебры и их применение (стр. 10 из 17)

Р₂Т=

=

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ, ν

(0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР₁ = Р₁U, следовательно U=

, a, b

C

UР₂ (τ) =

=

Р₂ (ν) U =

= .

Тогда τ = ν, следовательно U= 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P₂ →L(H) - *-представление *-алгебры P₂ .

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π_0,0(p₁) = 0; π_0,0(p₂) = 0; π_1,0(p₁) = 1; π_1,0(p₂) = 0; π_0,1(p₁) = 0; π_0,1(p₂) = 1; π_1,1(p₁) = 1; π_1,1(p₂) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p₁)

, π(p₂) τ

(0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p₂) =

φ

(0, ).

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P₂ . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН₁, dimН₁^┴) + max (dimН₂, dimН₂^┴) > 2n+1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i= 0,1 иj= 0,1, что Н_i,j≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН₁ = n, dimН₂ = n и Н_i,j= {0} для любых i= 0,1 иj= 0,1, то есть Н_i,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х

Н₁ такой, что Р₁Р₂х = λх, где λ

С.

Доказательство. Пусть

, ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид , где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как х

Н₁, то

, g_k

C, к = 1,…, n. Тогда

Р₁Р₂х = Р₁Р₂

= Р₁Р₂ = Р₁ =

= Р₁

= = ( ) =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q₁,…, q_n:

=

j = 1,…, n

Подбирая λ

Cтак, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q₁,…, q_n. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р₂х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р₁ и Р₂.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b

С имеем

Р₁ (aх + bР₂х) = aх + λbх = (a+ λb) х

L,

Р₂ (aх + bР₂х) = aР₂х + bР₂х = (a+ b) Р₂х

L

dimL = 2, так как Н_i,j= {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР₂х = 0, где, например, а ≠ 0, то х =

Р₂х, значит = 0 или 1 и х

Н_1,1; тогда Н_1,1≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P₂ . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P₂, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р₁ и Р₂ подпространств

Н = Н_0,0

Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 ( (С²

Н_к)), (1.1.)

где каждому подпространству Н_к соответствует одно φ_к

(0,

), φ_к ≠ φ_i при к≠i, dimН_к = n_к (к = 1,…, m). Пусть Р_i,j: Н →Н_i,j, Рφ_к: Н →С²

Н_к – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов