*-Алгебры и их применение (стр. 14 из 17)
2) х 
Н0,1 или х Н1,0, тогда Ах = х и 1 
(А).3) х Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2
(А).Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j ≠ {0}, то существуют k,l= 0,1 такие, что Нi,j 
Нk,l = H. В этом случае
(А) 
{0, 1, 2}.Пусть теперь Нk,l = {0} для любых k,l= 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р1 и Р2, тогда АL L. Пусть х L, тогда Рkх = λкх (k= 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то возможны случаи:
(i) λ1 = 0, λ2 = 0;
(ii) λ1 = 0, λ2 = 1;
(iii) λ1 = 1, λ2 = 0;
(iv) λ1 = 1, λ2 = 1;
Но это означает, что
k,l= 0,1 такие, что Нk,l ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.Р1 =
, Р2 
τ (0, 1)Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 +bР2, aи b
С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР1 +bР2 – λI) = 0. 
(1.1.)Тогда
, 
(1.2)Положим a= 1, b =1, ε =
, тогда λ1 = 1+ε , λ2 = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ<1.Тогда
(А) {0, 1, 2} 
{1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =К
L, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k 
K, l L. Пусть λ 
(А), тогда Ах = λх =λk +λl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0= Н0,0, Н1=Н0,1
Н1,0, Н2=Н1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφкφк 
(0, 
), (к = 1,…, s). При этом операторы Р1 и Р2 неприводимы в Нφк (к = 1,…, s), и собственные значения 1+εк, 1-εк входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространстваНφк = Н1+εк
Н1-εк, причем dimН1+εк=dimН1-εк= 1 (1.3)Если φк ≠ φi, то εк ≠ εi (так как εк =
=cosφк и φк (0, )). Объединим все Нφк , у которых одинаковые φк , в одно слагаемое, и обозначим его через Нφк. При этом, если dimНφк = 2qk, то есть Нφк состоит из qk экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нφк = Н1+εк Н1-εк, dimН1+εк=dimН1-εк= qk.Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда
(А) {0, 1, 2} ( 
{1+ε , 1-ε}), 0<εк<1,причем dimН1+εк=dimН1-εкк = 1,…, m.
Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2, тогда его спектр был найден выше:
(А) {0, 1, 2} ( {1+ε , 1-ε}), где 0<εк<1для любого к = 1,…, m.Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть
dimН1+εк=dimН1-εк. Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):
Н = Н(0)
Н(1) Н(2) ( 
(С2 Нк)) (1.4.)(1.4.) можно записать иначе
Н = Н(0)
Н(1) Н(2) ( (С2 (Н1+εк Н1-εк))) (1.5.)Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом
P1 = PН2
( ( Iк )) (1.6.)