*-Алгебры и их применение (стр. 15 из 17)

Р₂ = P_Н1

P_Н2 (

I_к )) (1.7.)

где P_Нк – ортопроектор в Н на Н_(к) (к = 1, 2), I_s – единичный оператор в H_ss=1,…, m. Но тогда

Р₁ + Р₂ = P_Н1

P_Н2 (

I_к )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ₁ + λ₂ = a+ b. Пусть λ₂ = ε, тогда λ₁ = a+ b – ε.

Оценим ε. Заметим, что (a +b)² – 4ab(1-τ) = (a - b)² + 4abτ > 0.

Тогда ε =

> = 0, то есть ε = 0.

Допустим, что ε ≥ a , тогда

a ≤

≤ b – a

(b - a)² +4abτ ≤ (b – a)²

abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a

Итак,

λ₁ = ε

λ₂ = a + b – ε. (1.8.)

0 < ε < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР₁ +bР₂, 0<a<b тогда и только тогда, когда

(А)

{0, a, b, a + b} ( {ε_к, a + b - ε_к}), 0<ε_к<1, и

dimН_εк=dimН_a+b-εк(Н_εк, Н_a+b-εк- собственные подпространства оператора А, отвечающие ε_к) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР₁ +bР₂, 0<a<b. Найдем

(А).

1) х

Н_0,0, то Ах = 0 и 0

(А);

2) х

Н_0,1, то Ах = bx и b

(А);

3) х

Н_1,0, то Ах = ax и a

(А);

4) х

Н_1,1, то Ах = (a+b)x и a+b

(А).

Тогда

(А)

{0, a, b, a+ b} ( {ε_к , a+ b - ε_к}), где 0<ε_к<1, к=1,…m. Причем числа ε_к, a+ b - ε_к входят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному ε_к также инвариантна относительно А и dimН_εк=dimН_a+b-εк= q_k. (с учетом кратности ε_к)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н₍₀₎

Н_(a) Н_(b) Н_(a+b) ( (С²

Н_к)) (1.9.)

Где Н₍₀₎=Н_0,0, Н_(a) =Н_1,0, Н_(b)=Н_0,1, Н_(a+b)=Н_1,1 или

Н = Н₍₀₎

Н_(a) Н_(b) Н_(a+b) ( (Н_εк Н_a+b-εк) (1.10.)

Положим

P₁ = P_a

P_a+b ( (

I_к )) (1.11.)

Р₂ = P_b

P_a+b (

I_к )) (1.12.)

Но тогда

aР₁ + bР₂ = aP_a

bP_b (а+b)P_a+b (a (

I_к ))

(b

I_к )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a+ b}

( {ε_к , a+ b - ε_к}), (0<ε_к<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р₁ + Р₂. Изучим оператор Р₁ + Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ + Р₂ тогда и только тогда, когда

(А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀

Н₁ Н₂ ( (С²

L₂((0,

), dρ_к))) (2.1.)