*-Алгебры и их применение (стр. 16 из 17)

и меры ρ_к инвариантны относительно преобразования 1+х→ 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р₁ +Р₂. Н₀=Н_0,0, Н₁=Н_1,0

Н_0,1, Н₂=Н_1,1

Поставим в соответствие φ→ε cosφ, где φ

(0,

). Тогда, как было найдено выше, спектр (А)

[0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н₀

Н₁ Н₂ ( (С²

L₂((0,2), dρ_к)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρ_к (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х→ 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и

(А) [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р₁΄ Р₂΄ равенствами

Р₁΄ = P₁

P2

(

(

I_к ))

Р₂΄ = P₂

(

I_к ))

где P_i: Н→Н_i (i= 0, 1, 2) ортопроектор, I_k – единичный оператор в L₂((0,2), dρ_к)). Тогда А =Р₁΄ + Р₂΄- самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Р_к΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = aР₁ +bР₂ (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР₁ +bР₂ (0<a<b).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР₁ +bР₂, 0<a<b тогда и только тогда, когда

(А) [0, a] [b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀

Н_a Н_b Н_a+b ( (С²

L₂([0, a] [b, a+b], dρ_к)))) (2.2.)

и меры ρ_к инвариантны относительно преобразования х→a+b.

Доказательство. Пусть А = aР₁ +bР₂ (0<a<b). Пусть Н₀=Н_0,0, Н_а=Н_0,1, Н_b=Н_1,0, Н_a+b=Н_1,1. Так как

(А)

[0, a] [b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н₀

Н_a Н_b Н_a+b ( (С²

L₂([0, a] [b, a+b], dρ_к))))

где меры ρ_к (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.

Обратно, пусть

(А)

[0, a] [b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р₁ и Р₂ следующим образом

P₁ = P_a

P_a+b ( (

I_к ))

Р₂ = P_b

P_a+b (

I_к ))

где Р_α: Н→Н_α, α = a, b, a+b – ортопроекторы, I_к – единичный оператор в L₂([0,a]

[b, a+b]). Тогда

А = aР₁ + bР₂ = aР₁

bР₂ (a+b)P_a+b ( (

I_к ))

(

I_к ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P₂ .

P₂ = С <p₁, p₂ | p_к² = p_к* =p_к>.

А именно: 4 одномерных π_0,0(p₁) = 0, π_0,0(p₂) = 0; π_0,1(p₁) = 0, π_0,1(p₂) = 1; π_1,0(p₁) = 1, π_1,0(p₂) = 0; π_1,1(p₁) = 1, π_1,1(p₂) = 1.

И двумерные:

, τ

(0, 1)