*-Алгебры и их применение (стр. 2 из 17)
3) Пусть Н – гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.
4) Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А→А*(А 
К(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S 
H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.
5) Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов
.Алгебра W есть *- алгебра, если положить
. ( 
)1.3. Алгебры с единицей
Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию
ех = хе = х для всех х
А (1.1.)Элемент е называют единицей алгебры А.
Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.
Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А, то
е΄х = хе΄ = х, для всех х
А (1.2.)Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:
ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е.
Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.
Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х, х А; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой основные операции определяются формулами:β(αе + х) = βαе + βх, (α1е + х1) + (α2е + х2) = (α1 + α2)е + (х1 + х2),
(α1 е + х1)(α2 е+ х2 )=α1 α2 е +α1 х2 +α2 х1 + х1 х2 (1.3.)
Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде
х΄ = αе + х, х А, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, х А, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при α = 0.
Алгебру А΄ можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), х А, в которой основные операции определяются по формулам:β (α, х) = (βα, βх), (α1,х1) + (α2, х2) = (α1 + α2, х1 + х2),
(α1,х1)(α2, х2) = (α1α2, α1х2 + α2 х1 + х1х2), (1.4.)
аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), х А и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:
(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,
так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.
Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.
Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.
Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим
z = (yx)z = y(xz) = ye,
В этом случае говорят, что существует обратный х-1 элемента х.
1.4. Простейшие свойства 
- алгебр
Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.
Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого х А элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого z C 
, но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде 
.
Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 +iх2, где х1, х2 – эрмитовы элементы.
Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1 +iх2, следовательно:
,
(1.5.)Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 +iх2.
Эти элементы х1, х2 называются эрмитовыми компонентами элемента х.
Заметим, что хх* = х12 + х22 + i(х2х1 – х1х2),
хх* = х12 + х22 - i(х2х1 – х1х2)
так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны.
Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.
Если А - *-алгебра без единицы, а А΄ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив
при х А, мы определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также существует и
(х*)-1 = (х-1)*
Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения
х-1х = хх-1 = е,
получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.
Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.
Подалгебра А1алгебры А называется *-подалгеброй, если из х А1 следует, что х* А1.
Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.
Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.
Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х-1существует, то х-1 В.
Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1 В.