*-Алгебры и их применение (стр. 6 из 17)

Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π=

π(t) dμ(t).

Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)

L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=

Н(t)dμ(t).

Пусть ε= ((H(t))t

_T, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ₁ – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ₁, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=

. Тогда отображение, которое каждому х

Н==

Н(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t^)-1/2х(t)Н₁=

Н(t) dμ₁(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н₁, называемый каноническим.

Действительно,

||

ρ(t^)-1/2х(t)dμ₁(t)||² = ||х(t)||²ρ(t^)-1 dμ₁(t) = ||х(t)||²dμ₁(t) = ||х(t)||²

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =

Н(t) dμ(t) , π₁== π(t )dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ₁ – мера на Т, эквивалентная μ,

Н₁ =

Н(t) dμ₁(t) , π₁ = π(t) dμ₁(t),

Д₁ – алгебра диагональных операторов в Н₁. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π₁ и Д в Д₁.

Доказательство. Пусть ρ(t)=

. Канонический изоморфизм из Н в Н₁есть изометрический изоморфизм, который переводит х =

x(t) dμ(t)

Н в

Ux=

ρ^-1/2х(t) dμ₁(t).

Пусть α

А. Имеем

π₁(α)Ux =

π(t)(α) ρ^-1/2 х(t) dμ₁(t) = U π(t)(α) х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,

поэтому и преобразуем π в π₁. Тогда если S

Д, то аналогично SUx = USx, для любого х

Н.

Определение 2.14. Пусть Т, Т₁ – борелевские пространства; μ, μ₁ – меры на Т и Т₁ соответственно; ε= ((H(t))_t

_T, Г), Z₁ = ((H₁(t₁))_t1

_T1, Г), - μ-измеримое и μ₁-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т₁ – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ₁; η-изоморфизм ε на ε₁ называется семейство (V(t))_t

_T, обладающееследующими свойствами:

(i) для любого t

T отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н₁(η(t));

(ii) для того, чтобы поле векторов t→x(t)

H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t)

Н₁(η(t)) на Т₁было μ₁-измеримо.

Отображение, переводящее поле х

Н =

Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t)

Н₁=

Н₁(t) dμ₁(t) , есть изоморфизм Н на Н₁, обозначаемый

V(t) dμ(t).

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) - μ- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =

Н(t) dμ(t), π == π(t) dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т₁, μ₁, t₁→H₁(t₁), t₁→ π₁(t₁), Н₁, π₁, Д₁.

Предположим, что существует:

1. N, N₁ – борелевские подмножества Т и Т₁, такие что μ (N) = μ (N₁) = 0;

2. борелевский изоморфизм η: T\N→T\N₁, преобразует μ в μ₁;

3. η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (t

Z\N) на поле t₁→Н₁(t₁) (t₁

Т₁\N₁) такой, что V(t) преобразует π(t) в π₁(η(t)) для каждого t.

Тогда V=

V(t)dμ(t) преобразует Д в Д₁ и π в π₁.

Доказательство. Обозначим через I_t, I_t1 единичные операторы в Н(t) и Н₁(t₁). Если f

L^∞(T, μ) и если f₁ – функция на Т₁\N₁, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует

f(t)I_tdμ(t) в f₁(t₁) I_t1 dμ₁(t₁), поэтому Vпреоб-
разует Д в Д₁. С другой стороны, пусть α

А и х = х(t) dμ(t)

Н.

Тогда

Vπ(α)х = V

π(t)(α) х(t) dμ(t) = V(η^-1(t₁)) π(η^-1(t₁))(α) х(η^-1(t₁)) dμ₁(t₁) = π₁(t₁)(α) V(η^-1(t₁))х(η^-1(t₁)) dμ₁(t₁) = π₁ (α) Vх