*-Алгебры и их применение (стр. 7 из 17)

Поэтому V преобразует π в π₁.

Приведем примеры прямых интегралов.

1. Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств

и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого n

N. Тогда

Н(n) dμ(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.

2. Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке t

Т соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда

Сdt = L₂ (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х =

х(t)dt →х(t)

L₂ (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть

- конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Н_к.

Образуем формальное произведение

(3.1.)

α = (α₁,…, α_n)

(n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность (

) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н₁,…, Н_n и обозначается Н₁

,…,

Н_n = . Его векторы имеют вид:

f=

(f_α

C), || f||² = < ∞ (3.2.)

Пусть g=

, тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой

(f, g) =

(3.3.)

Пусть f^(k)=

(к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f⁽¹⁾

_…

f⁽ⁿ⁾ =

(3.4.)

Коэффициенты f_α=

разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || =

(3.5.)

Функция Н₁

,…, Н_n < >

линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка Lвекторов (3.4.) плотна в - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н₁,…, Н_n и обозначается α.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса

в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н₁ и Н₂ – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f₁

f₂, причем считается, что

(f₁ + g₁)

f₂ = f₁

f₂ + g₁

f₂ (3.6.)

f₁

(f₂ + g₂) = f₁

f₂ + f₁

g₂(3.7.)

(λ f₁)

f₂=λ (f₁

f₂) (3.8.)

f₁

λ (f₂) = λ (f₁

f₂) (3.9.)

f₁,g₁

Н₁; f₂,g₂

Н₂; λ

С.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f₁

f₂, g₁

g₂) = (f₁ g₁)(f₂ g₂) (3.10.)

f₁,g₁

Н₁; f₂,g₂

Н₂,