*-Алгебры и их применение (стр. 8 из 17)
а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.
3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.
Теорема 3.1. Пусть
, 
- две последовательности гильбер-товых пространств,
- последовательность операторов Ак 
L(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1 
… Аn = 
Ак формулой(
) f= ( 
) = 
(3.11.)(f
).Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в
и определяет оператор 
L( , ), причем||
|| = 
|| || (3.12.)Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1 ,…, Нn = (Н1 ,…, Нn-1) Нnобщий случай получается по индукции.
Пусть
- некоторый ортонормированный базис в Gк(к = 1, 2) и пусть g = 
G1 G2. В качестве f возьмем вектор из Н1 Н2 с конечным числом отличных от нуля координат fα.Зафиксируем α2, β1
Z+ и обозначим через f(α2) Н1вектор f(α2) = 
и через g(β1) G2 – вектор g(β1) = 
. Получим 
= 
==
≤ 
==
≤ 
==
Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1 G2ряда
уже при произвольном c Н1 Н2и оценка его нормы в G1 G2сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||. Таким образом, оператор A1 A2: Н1 Н2→G1 G2определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1|| ||A2||.Из (3.5.) и (3.11.) следует
||(A1 A2) (f1 f2)|| = ||A1f1||||A2f2|| (fк Нк, к = 1, 2)
Подбирая должным образом орты f1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||, поэтому неравенство ||(A1 A2)|| ≤ ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.
Из (3.11.) получаем для Ак L(Hк, Gк), Вк L(Hк, Gк) (к = 1,…, n) соотношения
(
Вк) ( Ак) = (Вк Ак) (3.13.)(
Ак)* = Ак*(3.14)(
Ак) (f1 … 
fn) = A1f1 … Anfn (3.15.)(fк Hк; к = 1,…, n)
(3.15) однозначно определяет оператор
Ак.Приведем пример. Пусть Hк = L2(
(0,1), d ( mк)) = L2 Действительно, вектору вида (3.1.)
поставим в соответствие функцию 
L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2.