*-Алгебры и их применение (стр. 9 из 17)

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

1.1. Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P₂

P₂ = С < р₁, р₂| р₁²= р₁* = р₁, р₂² =р₂* = р₂ >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u= 2p₁ – 1, v = 2p₂ – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u² = (2p₁ – 1)² = 4p₁ – 4p₁ + 1 = 1, v² = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P₂ можно задать иначе:

P₂ = С < p₁*= p₁, p₂*=p₂ | p₁² = p₁, p₂²= p₂> = C <u* = u, v* = v | u² = 1, v²=1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P₂ , с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P₂ . Пусть π: P₂→L(H) - *-представление *-алгебры P₂ . Рассмотрим сначала случай, когда dimH = 1, то есть dimπ = 1.

P₂ = С < р₁, р₂| р₁²= р₁* = р₁, р₂² =р₂* = р₂ >

Обозначим через Р_к = π(р_к), к = 1,2. Поскольку р_к²= р_к* = р_к (к = 1, 2) и π - *-представление, то Р_к² = Р_к* = Р_к (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Н_к = {y

H | Р_кy = y} к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

1. Н₁= Н₂= {0}; тогда Р₁ = 0, Р₂ = 0.

2. Н₁= Н (то есть dimH₁ =1), Н₂ = {0}, тогда Р₁ = 1, Р₂ = 0.

3. Н₁ = {0}, Н₂ = Н (то есть dimH₂ =1), тогда Р₁ = 0, Р₂ = 1.

4. Н₁ = Н₂ = Н (dimH₁ = dimH₂=1), тогда Р₁ = 1, Р₂ = 1.

Так как dimH =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P₂, причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P_{2 .} Обозначим через Н_к область значений оператора Р_к при к = 1,2. Пусть Н_к^┴- ортогональное дополнение подпространства Н_к (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H₁

Н₁^┴, Н=H₂ Н₂^┴

Введем дополнительные обозначения :

Н_0,0= Н₁^┴ ∩Н₂^┴, Н_0,1= Н₁^┴ ∩Н₂, Н_1,0= Н₁ ∩Н₂^┴, Н_1,1= Н₁ ∩Н₂. (1.1.)

Пусть dimH = 2. предположим, что существуют i и j такие, что H_ijнетривиально, то есть dimH_ij=1. Пусть, например, dim Н_1,0= 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н_1,0= л.о. {h}, но тогда P₁h = h, P₂h = 0; следовательно Н_1,0инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что H_ij={0} для любых i= 0, 1 и j =0, 1, (то есть H_ijлинейно независимы) и dimH₁ = dimH₂=1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e₁, e₂} и {g₁, g₂}, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид

. Найдем матрицу оператора Р₂ в базисе {e₁, e₂}.

Пустьg₁ = a₁₁e₁ + a₁₂ e₂

g₂ = a₂₁e₁ + a₂₂e₂

e₁ = b₁₁g₁ + b₁₂g₂

e₂ = b₂₁g₁ + b₂₂g₂

Рассмотрим векторы h₁ = e^ite₁ и h₂ = e^ile₂, тогда

|| h₁ || = || e^ite₁ || = || e₁ || = 1, || h₂ || = || e^ile₂ || = || e₂ || = 1

(h₁ ,h₂) = (e^ite₁ , e^ile₂) = e^i(t-l)(e₁, e₂ ) = 0, то есть {h₁ ,h₂} – ортонормированный базис.

Р₁h₁=e^itР₁ e₁ = h₁, Р₁h₂=e^ilР₁ e₂ = 0.

Значит в базисе {h₁ ,h₂} матрица оператора Р₁ также имеет вид

. Тогда можно считать, что a₁₁,a₁₂ > 0 (так как, например, a₁₁ e₁=|a₁₁| e^ite₁ =|a₁₁| h₁)

(e₁, e₂)= 0, значит a₁₁a₂₁ = a₁₂a₂₂= 0 или

, тогда существует такое комплексное число r, что

a₂₂= - ra₁₁

a₂₁ = ra₁₂

Базис (e₁, e₂) ортонормированный; следовательно

a₁₁² + a₁₂² = 1

|a₂₂|² + |a₂₁|² = 0

тогда | r | = 1.

Р₂ e₁ = Р₂ ( b₁₁g₁ + b₁₂g₂) = b₁₁g₁= b₁₁a₁₁e₁ + b₁₁a₁₂e₂,

Р₂ e₂ = Р₂ ( b₂₁g₁ + b₂₂g₂) = b₂₁g₁= b₂₁a₁₁e₁ + b₂₁a₁₂e₂.

Найдем b₁₁ и b₂₁:

e₁ = b₁₁g₁ + b₁₂g₂ = b₁₁ (a₁₁e₁ + a₁₂ e₂) + b₁₂ (a₂₁e₁ + a₂₂e₂) = (b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂)e₁ + (b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂)e₂,

b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂ = 1

b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂ = 0 или

b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂r = 1

b₁₁a₁₂ - b₁₂a₁₁r = 0,

Тогдаb₁₁ = a₁₁.

Аналогично

E₂ = b₂₁g₁ + b₂₂g₂ = (b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁)e₁ + (b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂)e₂,

b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁= 0

b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂ = 1,

отсюда находим, что b₂₁ = a₁₂.

Тогда матрица оператора Р₂ в базисе {e₁, e₂} будет иметь вид (обозначим ее также через Р₂)

Р₂ =

, где a₁₁>0, a₁₂>0 и a₁₁² + a₁₂² =1

А) Пусть a₁₁² = τ, тогда a₁₂² =1 – τ, a₁₁a₁₂ =

. Так как a₁₁a₁₂ >0, то τ

(0, 1).

Тогда Р₂ =

.

В) Положим a₁₁ = cosφ,тогда a₁₂ = sinφ и Р₂ запишется следующим образом

Р₂ =

.

Найдем коммутант π(P₂). Пусть Т =

оператор перестановочный с Р₁ и Р₂, тогда

ТР₁ =

=

Р₁Т =

=

Следовательно b = c = 0.

ТР₂ =

=