1.2 Понятие аксиоматической теории.
Исторический процесс развития взглядов на существо математики как науки привел к формированию фундаментальной концепции аксиоматического метода и понятия аксиоматической теории. Суть их состоит в следующем. Выбирается ряд первоначальных понятий, которые не определяются и используются без объяснения их смысла. Вместе с тем, все другие понятия, которые будут использоваться, должны быть строго определены через первоначальные неопределённые понятия и через понятия, смысл которых был определён раньше. Высказывания, определяющее таким способом значение понятия, называется определением, а само понятие, смысл которого определён, носит название определяемого понятия. Евклид сделал попытку строго определить все первоначальные понятия геометрии: точки, прямой, плоскости и т.д. Но совершенно ясно, что эти понятия должны определяться через какие-то другие, те в свою очередь, должны опираться на следующие понятия, и так далее, так что процесс бесконечен. Таким образом, первоначальные понятия аксиоматической теории не определяются.
Совершенно аналогична ситуация и с утверждениями о первоначальных и об определяемых понятиях. Невозможно доказать все истинные утверждения об этих понятиях, потому что при доказательстве нужно опираться на какие-то предыдущие утверждения, при их доказательстве, в свою очередь, - на следующие, и так без конца. Поэтому и здесь необходимо выделить некоторые утверждения и объявить их истинными. Такие утверждения, принимаемые без доказательства, называются аксиомами аксиоматической теории. Совокупность аксиом обозначается буквой . Вопрос о том, какие утверждения о первоначальных понятиях выбираются в качестве аксиом, заслуживает специального рассмотрения. Евклид в качестве пяти своих аксиом (постулатов) выбрал наиболее, на его взгляд, очевидные утверждения о точках и прямых, т.е. такие утверждения, которые многократно подтверждались практическим опытом человечества.
Итак, после того, как система аксиом аксиоматической теории выбрана, приступают к развитию самой аксиоматической теории. Для этого, исходя из выбранной системы аксиом, пользуясь правилами логического умозаключения, выводятся новые утверждения о первоначальных понятиях, а также об определяемых понятиях. Получаемые утверждения называются теоремами данной аксиоматической теории.
Можно более точно сформировать понятие теоремы аксиоматической теории и её доказательства. Доказательством утверждения С, сформулированного в терминах данной теории, называется конечная последовательность В1, В2, …, В5 высказываний теории, в которой каждое высказывание есть либо аксиома, либо оно получено из одного или более предыдущих высказываний данной последовательности по логическим правилам вывода, а последнее высказывание В5 есть утверждение С. При этом, С называется теоремой или доказуемым утверждением аксиоматической теории. Обозначение: |- С. Каждая аксиома аксиоматической теории является её теоремой доказательство аксиомы есть одноэлементная последовательность, состоящая из неё самой.
Важным является следующее обобщение понятия теоремы. Пусть Г – конечное множество высказываний некоторой аксиоматической теории. Утверждение С теории, называется выводами из Г (обозначается Г |-), если существует конечная последовательность высказываний В1, В2, …, В5, называемая выводом С из Г, каждое высказывание которой является либо аксиомой, либо высказыванием из Г, либо получено из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по какому-либо из правил вывода рассматриваемой теории, а последнее высказывание В5 есть утверждение С. Утверждение из множества Г называются гипотезами. В частном случае, когда Г=, вывод С из Г превращается в доказательство утверждения С, а С становится теоремой аксиоматической теории.
Итак, под аксиоматической теории, построенной на основе системы аксиом , понимается совокупность всех теорем, доказываемых, исходя из этой системы аксиом. Такую совокупность теорем обозначают Тh ().
Изложенный метод построения математической теории носит название аксиоматического или дедуктивного метода. Выбор системы аксиом есть дело условия: одно и тоже утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, если выбор аксиом осуществлён по-иному. Итак, если в обыденной жизни за термином «аксиома» утвердился его изначальный смысл (в переводе с греческого «аксиома» означает «достойный признания), именно смысл самоочевидной, безусловной истины, то в математике, при построении аксиоматических теорий, аксиомы условны. Они «достойны признания» не сами по себе, не ввиду их самоочевидной истинности, а потому что на их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборе системы аксиом прежние аксиомы становятся теоремами. Коротко говоря, аксиомы – это то, из чего выводятся теоремы, а теоремы – то, что выводится из аксиомы.
Суть аксиоматического построения математической теории состоит в том, что сначала выбирается ряд первоначальных понятий, который не определяются и используются без объяснения их смысла. Ранее, формулируется ряд первоначальных утверждений. Об этих первоначальных понятиях, которые принимаются без доказательства и которые называются аксиомами. Наконец, исходя из выбранной системы аксиом, доказывают новые утверждения о первоначальных понятиях, а также о понятиях, которые определяются в процессе развития аксиоматической теории. Эти доказываемые утверждения называются теоремами, а совокупность всех теорем, выводимых (доказываемых) из данной системы аксиом, называется аксиоматической теорией, построенной на базе этой системы аксиом.
1.3. Как возникают аксиоматические теории.
Можно указать два пути, по которым происходило становление тех или иных аксиоматических теорий, известных в математике.
Первый путь состоит в том, что та или иная математическая теория, достигнув достаточно высокого уровня развития, принимает характер аксиоматической теории. Именно таким путём были аксиоматизированы следующие математические теории: арифметика (на основе системы аксиом Дж. Пиано), геометрия (на основе разнообразных систем аксиом, в частности, Д. Гильберта, Г. Вейля, М. Пиери и т.д.), теория вероятностей (аксиоматика А.Н. Колмогорова) и другие.
Второй путь возникновения аксиоматических теорий состоит в том, что обнаруживалось глубокое внутреннее сходство между основными чертами, казалось бы, совершенно различных математических теорий. Данное обстоятельство наводило на мысль выделить общие черты и, руководствуясь ими, построить аксиоматическую теорию. На этом пути возникли, по-видимому, все аксиоматические теории и, прежде всего, теории групп, колец, полей и других алгебраических систем, общая или универсальная алгебра и т.д. Здесь появляется прекрасная возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие, а также возможность свободно интерпретировать первоначальные понятия и аксиомы аксиоматической теории, что раскрывает широкие перспективы приложений таких теорий и является одним из мощных источников действенной силы математики как науки вообще.
II. ПРИМЕРЫ АКСИОМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ.
Приведём примеры аксиоматических теорий возникших разными путями.
Пример1. Теория групп – одна из теорий, возникших на втором пути. Было известно не мало объектов, обладающих многочисленными общими чертами. Среди них, в частности, множество F1-1(М) всех взаимнооднозначных отображений множества М на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений, множество Z всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел, множество V2 всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначив каждое из этих множеств через G, а каждую из операций через * (и называя её композицией элементов из G), обнаруживаем, что все три указанные объекта обладают следующими свойствами:
G0. Для любых а и в из G композиция а в есть однозначно определённый элемент из G.
G1. Для любых а и в и с из G (а в) с = а (в с).
G2. В G имеется такой элемент е, что для любого а из G а е = е а = а.
G3. Для любого а из G имеется такой а’ из G, что а а’ = а’ а = е.
Например, элемент е, существование которого утверждается в свойстве G2, в случае F1-1(М) есть тождественное отображение М на М, в случае Z – целое число 0, в случае V2 – нуль вектор. В свойстве G3 элемент а’ есть обратное преобразование f-1, противоположное число –m, противоположный вектор ВА для преобразования f, целого числа m и вектора АВ соответственно. Утверждения G0 - G3 и составляют систему аксиом теории групп. Из этих аксиом можно выводить разнообразные теоремы и тем самым строить аксиоматическую теорию групп. Докажем несколько теорем этой теории.
Теорема 1. В группе имеется точно один единичный элемент.