ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И
МЕТОДИКИ ЕЁ ПРЕПОДОВАНИЯ
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
КУРСОВАЯ РАБОТА
научный руководитель
г. Саратов 2008 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.
I. Основные понятия аксиоматической теории.
1.1.Основные этапы развития аксиоматического метода в науке
1.2.Понятие аксиоматической теории
1.3.Как возникают аксиоматические теории.
II.Примеры аксиоматических теорий.
Заключение.
Список используемых источников.
ВВЕДЕНИЕ
Аксиоматический метод – фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях – сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории развития науки. Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удаётся пользоваться аксиоматическим методом, т.е., когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того, развитие науки в двадцатом столетии показало, что математика выделяется в системе наук именно тем, что она, по существу, единственная, использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко, и что этот метод в значительной мере обуславливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.
Целью данной курсовой работы является изучение применения аксиоматического метода к решению математических задач.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемых источников.
Во введении описана актуальность темы, сформулирована цель, дана структура курсовой работы.
В первой главе даны основные этапы развития аксиоматического метода и основные понятия аксиоматической теории. Намечен курс дальнейшего исследования.
Во второй главе описывается построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля.
В заключении сформулированы основные выводы к работе.
I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
1.1 Основные этапы развития аксиоматического метода в науке.
Формирование современного понимания существа аксиоматического метода происходило на протяжении более чем двухтысячелетней истории развития науки.
Истинное начало науки о геометрических фигурах и телах, конечно же, теряется в глубине тысячелетий. Начальное оформление первых геометрических представлений обычно связывают с древнейшими культурами Вавилона и Египта (3-2 тысячелетия до н.э.). С VII века до н.э. начинается пириод развития геометрии трудами греческих учёных. Пифагорейская школа в VI-V веках до н.э. продолжила геометрические исследования. Её основоположник Пифагор (560-470 или 580-500 г.г. до н.э.) в молодости около двадцати лет учился мудрости в Египте, ещё десяти – в Вавилоне. Несомненно, что в школе Пифагора геометрия сделала первые шаги от узкопрактических утилитарных задач, от геометрии измерения участков земли к обобщениям, абстракциям и рассуждениям.
Величайший философ античности Платон (428-348 г.г. до н.э.) создатель Академии, по-видимому, первым отчётливо поставил задачу построения всего научного знания вообще и геометрии в частности дедуктивным образом. Трактаты и учебники по геометрии появились ещё до Платона – известны руководства Гиппократа Хиосского, Демокрита, Февдия. но лишь Платон потребовал, чтобы во главу всякой отрасли знания были поставлены понятия и положения, из которых всё остальные, что к этой отрасли относятся должно вытекать кА их следствия. Но эта постановка у Платона всё же весьма расплывчата и контуры её лишь угадываются из всего его учения, построенного на полумистической базе.
Гениальный ученик Платона великий Аристотель (384-322 г.г. до н.э.), перешагнул через мистические догмы Платона, выявил его рациональные требования научного обоснования всякого знания всякой научной деятельности. Он охватил почти все достигнутые для его времени отрасли знания, стал основоположником научного метода и многих наук. Наука, по Аристотелю, представляет собой последовательность предложений, относящихся к некоторой области. Среди этих предложений имеются основные, которые настолько очевидны, что не требуют доказательств. Это – аксиомы. Остальные предложения должны быть выведены из них. Это – теоремы. Эта научная доктрина Аристотеля была принята как руководство к действию, прежде всего, математики. И когда примерно полстолетия спустя появился гениальный труд Евклида «Начала», то в его структуре явно просматривалась печать схемы Аристотеля.
Более 2000 лет «Начала» служили единственным руководством, по которому учились геометрии юноши и взрослые в странах запада и востока. Это была первая в истории человечества поистине научная книга: в ней геометрия была представлена как аксиоматическая теория, исходя из тех принципов, формулировки которых восходили к Аристотелю и Платону.
Наибольший интерес исследователей евклидовой системы обоснования геометрии на протяжении многих веков вызывал V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороной с которой эта сумма меньше двух прямых. Пространственность его формулировки толкала исследователей на то, чтобы доказать его, вывести из остальных постулатов и аксиом и тем самым исключить его из числа постулатов.
Такие исследования велись в элленическую эпоху (Посидоний, I в до н.э., Санкери, XVIII в., Ламберт, XVIII в.). Это была эпоха Евклида в истории обоснования геометрии, эпоха его продолжателей и усовершенствователей, период наивно-аксиоматического построения геометрии. В начале XIX века вместе с безуспешными попытками доказательства V постулата она подходит к концу. Она рождала из себя выдающееся открытие – новое понимание оснований геометрии и новый шаг в понимании сути аксиоматического метода.
11 февраля 1826 г. в заседании Физико-математического факультета Казанского университета профессор Н.И. Лобачевский (1792-1856 г.г.) сообщил об открытие: V постулат Евклида лежит в основе теории параллельных прямых. Значения открытия Лобачевского неизмеримо велико для геометрии. Во-первых, он «закрыл» проблему V постулата, стоявшую перед геометрами 2000 лет, доказав, что V постулат логически не зависит от остальных аксиом геометрии, т.е. не является их необходимым следствием. Во-вторых, V постулат потому именно не вытекает из остальных постулатов, что наряду с геометрией Евклида, в которой этот постулат верен, возможна другая «воображаемая», геометрия, в которой V постулат не выполняется. В-третьих, открытие Лобачевского дало новый взгляд на суть аксиоматического метода, который получил своё дальнейшее развитие. Аксиомы – это вовсе не самоочевидные истины. Это – утверждения о каких-то первоначальных понятиях, принимаемые без доказательств и кладущиеся в основе теории, из которых все дальнейшие утверждения теории логически выводятся. Истинно то, что может быть логически доказано (выведено) из принятых аксиом. И, в-четвёртых, открытие новой, как её обычно называют, неевклидовой геометрии положило конец существовавшеё до Лобачевского точке зрения, согласно которой евклидова геометрия представлялась единственно мыслимым учением о пространстве.
К концу 60-х годов XIX века, когда идеи Лобачевского были уяснены и признаны основной массой математиков и те приступили к их дальнейшему развитию, с новой силой встала проблема аксиоматического построения геометрии. К концу XIX и в начале XX века было опубликовано много работ на эту тему. Наибольшую популярность получило сочинение немецкого математика Д. Гильберта «Основания геометрии», вышедшие в 1899 году. В этой книге Гильберт привёл полную систему аксиом евклидовой геометрии, т.е. такой набор основных предложений, из которых все остальные утверждения геометрии могут быть доказаны логическим путём, доказал противоречивость этой системы и независимость некоторых аксиом от остальных аксиом системы. С выходом в свет этой книги вопрос о логическом обосновании геометрии фактически был закрыт. Более того, были окончательно осознаны те идеи и принципы, которые характеризуют суть аксиоматического подхода к обоснованию геометрии, а также суть аксиоматического метода вообще. Было принято, что значит построить аксиоматическую теорию и на какие вопросы при этом необходимо дать ответы. Это вопросы, связанные с непротиворечивостью, полнотой и категоричностью этой теории и независимостью её системы аксиом. Различные системы аксиом, исходящие из различных первоначальных понятий, строились как до выхода книги Гильберта (М. Пашем в 1882 году), так и после её выхода, вплоть до начала 20-х годов (Г. Вейлем в 1916 году). Этим был завершён второй этап развития аксиоматического обоснования геометрии абстрактно-аксиоматическое построение геометрии.
Геометрические исследования, начатые Лобачевским, привели к тому, что в начале XX века было сформировано фундаментальнейшее понятие современной математики – понятие (математического или геометрического) пространства как некой совокупности однородных объектов произвольной природы (точек, векторов, фигур, функций и т.п.), взаимное отношения между которыми удовлетворяют той или иной системе аксиом. Такое понимание позволило геометрическим идеям, оплодотворённым аксиоматическим методом, проникнуть во многие области математики, физики и других наук. При этом и сама геометрия стала развиваться всё шире, математика становилась всё более единой наукой, а границы её многообразных областей, в том числе и геометрии, становились всё менее чёткими. Поистине цементным раствором, соединившим прочнейшими связями основания всех областей математики, явилась в XX веке математическая логика. С её помощью был исследован сам процесс доказательства, процесс вывода теорем из аксиом. Тем самым аксиоматический метод получил дальнейшее своё развитие и достиг в определённом смысле вершины. Аксиоматические теории сами стали точными математическими объектами, названными формальными системами, и стали изучаться математическими методами, стала строиться теория также математических теорий (теория формальных систем), называемая метатеорией. Это направление было начато в работах Гильберта и получило название метода формализации и обоснования математики. В рамках метатеории геометрии были доказаны непротиворечивость, категоричность, полнота и разрешимость аксиоматической теории евклидовой геометрии, а также и геометрии Лобачевского. Можно сказать, что в XX веке состоялся третий этап развития аксиоматического метода.