Если
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K.
Пусть
w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,
где u, u1v, v1 - кватернионы. Так как
w
=(u+ ve) (ū1 - v1e) = (u ū1+ v)+(- v1u+ v 1)e = (u ū1+ v)(vu1 –v1u)eа w1
=( u1+ v1e) (ū - ve) = (u1ū+ v1) + (-vu1+v1u)e,то сложив эти два равенства, получим:
w
+ w1 = (u ū1+ v+u1ū+ v1) + (- v1u+ vu1 - vu1+v1u)e= (u ū1+u1ū + v + v1) + 0 e = u ū1+u1ū + v + v1 .В силу свойства 6) сопряженных кватернионов имеют место:
u ū1+u1ū =2 (aa1+bb1+cc1+dd1),
v + v1 = 2 (A A1+BB1+CC1 +DD1),u = a+bi+cj+dk, u1 = a1+b1i+c1j+d1k,
v = A+Bi+Cj+Dk, v1 = A1+B1i+C1j+D1k.
Тогда из последних равенств следует
w
+ w1 = 2 (aa1+bb1+cc1+dd1+AA1+BB1+CC1 +DD1).4.1 Модуль октавы
Определение. Модулем октавы
w=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK
называется
Модуль октавы wобозначается |w|. Следовательно,
|w| =
.Из свойства 2) сопряженных октав следует |w|2 = w
= w. Модуль октавы обладает свойствами:1) |w| ≥ 0 и |w| = 0
w=0;2) |ww1| = |w|*|w1|.
Действительно,
|ww1|2 = (ww1)(
) = (ww1) ( ) = w(w1* ) = w|w1|2 = |w1|2w = |w1|2 |w|2,Откуда
|ww1| = |w| |w1|
Равенство |pq| = |p| |q| после возведения обеих частей в квадрат в развернутом виде имеет вид:
|w w1| = |w| * |w1|.
(a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) (
) = (aa1 - bb1 - cc1 - dd1 - AA1 -BB1 - CC1 - DD1)2 +(ab1 + a1b + cd1 -c1d - A1B + B1A + C1D - CD1)2 +(ac1 + a1c - bd1 + b1d - a1c + ac1 - b1d + bd1)2 +(ad1 + a1d+ bc1 - b1c - a1d + ad1 + b1c - bc1)2 +(a1a - b1b - c1c -d1d + Aa1 + Bb1 + Cc1 + Dd1)2 +(a1b+ b1a + c1d-d1c - Ab1 + Ba1 - Cd1 + Dc1)2 +(a1c+ c1a - b1d+ d1b - ac1 + ca1 + bd1 - db1)2 +(a1 d+ d1a+ b1c- c1b - ad1 + da1 - bc1 + cb1)2.
Это равенство можно сформулировать так: произведение суммы квадратов восьми действительных чисел на сумму квадратов других восьми действительных чисел равно сумме квадратов восьми действительных чисел.
Если
w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
- чисто мнимая октава, то
w/2= (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) = b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 = -(b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) ≤ 0,
т.е. квадрат чисто мнимой октавы w/ есть неположительное действительное число.
Можно показать и обратное: если квадрат октавы есть неположительное действительное число, то эта октава - чисто мнимая. Действительно, если октаву w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DKпредставить в виде w = а + w/, где w/ - чисто мнимая октава
bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, a, a
R, тоw2 = (а + w/)(а + w/) = a2+ w/2+2a w/ =a2- b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 +2a w/.
Если это выражение есть действительное число и а ≠ 0, то w/= 0. Но тогда w=а, и следовательно, w2 = а2 не может быть ≤ 0. Следовательно, только октавы вида
w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
могут обладать тем условием, что их квадраты являются неположительными действительными числами. С учетом этого, октаву можно представить в виде w = а + w/ где a,a
R, w/2≤ 0. Тогда сопряженная ей октава = а –p/.В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы получили, что
(u; v)-1 =
; - .Так как (и; v) = и + ve, то тогда
(и + ve)-1 =
- .Если
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk,
это означает, что
(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)-1=
= ,если
w = и + ve= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK.
Итак, октава, обратная октаве w, есть октава
.Покажем, что в алгебре октав имеет место равенство:
(ww1)
1 = w(w1 1).Пусть w = u+ ve, w1 = u1+ v1e, где u, u1v, v1
K, Тогда:(ww1)
1 = ((u+ ve)( u1+ v1e))(ū1 - v1e) = ((uu1 - v)+ (v1u+ v ū1)e)(ū1 - v1e) = ((uu1 - v)ū1+ (v1u+ v ū1))+(-v1(uu1 - v)+ (v1u+ v ū1) 1)e = (uu1 ū1 - vū1+ v1u+ vū1) +(-v1uu1 +v1 v + v1uu1+ vū1u1)e = (u|u1|2 + |v1|2u)+(v|v1|2 + |u1|2v)e = u(|u1|2+ |v1|2)+ v(|v1|2 + |u1|2)e = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w.