Смекни!
smekni.com

Алгебра октав (стр. 10 из 19)


Если

w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K.

Пусть

w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,

где u, u1v, v1 - кватернионы. Так как

w

=(u+ ve) (ū1 - v1e) = (u ū1+
v)+(- v1u+ v
1)e = (u ū1+
v)(vu1 –v1u)e

а w1

=( u1+ v1e) (ū - ve) = (u1ū+
v1) + (-vu1+v1u)e,

то сложив эти два равенства, получим:

w

+ w1
= (u ū1+
v+u1ū+
v1) + (- v1u+ vu1 - vu1+v1u)e= (u ū1+u1ū +
v +
v1) + 0
e = u ū1+u1ū +
v +
v1 .

В силу свойства 6) сопряженных кватернионов имеют место:

u ū1+u1ū =2 (aa1+bb1+cc1+dd1),

v +
v1 = 2 (A A1+BB1+CC1 +DD1),

u = a+bi+cj+dk, u1 = a1+b1i+c1j+d1k,

v = A+Bi+Cj+Dk, v1 = A1+B1i+C1j+D1k.

Тогда из последних равенств следует

w

+ w1
= 2 (aa1+bb1+cc1+dd1+AA1+BB1+CC1 +DD1).

4.1 Модуль октавы

Определение. Модулем октавы

w=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK

называется

Модуль октавы wобозначается |w|. Следовательно,

|w| =

.

Из свойства 2) сопряженных октав следует |w|2 = w

=
w. Модуль октавы обладает свойствами:

1) |w| ≥ 0 и |w| = 0

w=0;

2) |ww1| = |w|*|w1|.

Действительно,

|ww1|2 = (ww1)(

) = (ww1) (
) = w(w1*
)
= w|w1|2
= |w1|2w
= |w1|2
|w|2,

Откуда

|ww1| = |w|

|w1|


Равенство |pq| = |p|

|q| после возведения обеих частей в квадрат в развернутом виде имеет вид:

|w w1| = |w| * |w1|.

(a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2)

(

) = (aa1 - bb1 - cc1 - dd1 - AA1 -BB1 - CC1 - DD1)2 +(ab1 + a1b + cd1 -c1d - A1B + B1A + C1D - CD1)2 +(ac1 + a1c - bd1 + b1d - a1c + ac1 - b1d + bd1)2 +(ad1 + a1d+ bc1 - b1c - a1d + ad1 + b1c - bc1)2 +(a1a - b1b - c1c -d1d + Aa1 + Bb1 + Cc1 + Dd1)2 +

(a1b+ b1a + c1d-d1c - Ab1 + Ba1 - Cd1 + Dc1)2 +(a1c+ c1a - b1d+ d1b - ac1 + ca1 + bd1 - db1)2 +(a1 d+ d1a+ b1c- c1b - ad1 + da1 - bc1 + cb1)2.

Это равенство можно сформулировать так: произведение суммы квадратов восьми действительных чисел на сумму квадратов других восьми действительных чисел равно сумме квадратов восьми действительных чисел.

Если

w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK

- чисто мнимая октава, то

w/2= (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) = b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 = -(b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) ≤ 0,

т.е. квадрат чисто мнимой октавы w/ есть неположительное действительное число.

Можно показать и обратное: если квадрат октавы есть неположительное действительное число, то эта октава - чисто мнимая. Действительно, если октаву w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DKпредставить в виде w = а + w/, где w/ - чисто мнимая октава


bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, a, a

R, то

w2 = (а + w/)(а + w/) = a2+ w/2+2a w/ =a2- b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 +2a w/.

Если это выражение есть действительное число и а ≠ 0, то w/= 0. Но тогда w=а, и следовательно, w2 = а2 не может быть ≤ 0. Следовательно, только октавы вида

w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK

могут обладать тем условием, что их квадраты являются неположительными действительными числами. С учетом этого, октаву можно представить в виде w = а + w/ где a,a

R, w/2≤ 0. Тогда сопряженная ей октава
= а –p/.

В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы получили, что

(u; v)-1 =

; -
.

Так как (и; v) = и + ve, то тогда

(и + ve)-1 =

-
.

Если

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk,


это означает, что

(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)-1=

=
,

если

w = и + ve= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK.

Итак, октава, обратная октаве w, есть октава

.

Покажем, что в алгебре октав имеет место равенство:

(ww1)

1 = w(w1
1).

Пусть w = u+ ve, w1 = u1+ v1e, где u, u1v, v1

K, Тогда:

(ww1)

1 = ((u+ ve)( u1+ v1e))(ū1 - v1e) = ((uu1 -
v)+ (v1u+ v ū1)e)(ū1 - v1e) = ((uu1 -
v)ū1+
(v1u+ v ū1))+(-v1(uu1 -
v)+ (v1u+ v ū1)
1)e = (uu1 ū1 -
1+
v1u+
1) +(-v1uu1 +v1
v + v1uu1+ vū1u1)e = (u|u1|2 + |v1|2u)+(v|v1|2 + |u1|2v)e = u(|u1|2+ |v1|2)+ v(|v1|2 + |u1|2)e = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w.