< ><С другой стороны,
w(w1
1) = w|w1|2.Сравнивая правые части этих равенств, получаем:
(ww1)
1 = w(w1 1).Покажем также, что в алгебре октав имеет место равенство:
1(w1w) = (
1w1)w).Действительно,
1(w1w) = (ū1 - v1e)((u1+ v1e)(u+ve)) = (ū1 - v1e) ((u1u- v1)+(vu1+ v1ū)e) = (ū1(u1u-- v1) – ( )(-v1))+((vu1+ v1ū)ū1 - v1( ))e = (ū1(u1u- v1) + (ū1 + u )v1) + ((vu1+ v1ū)ū1 - v1(ū ū1 - v))e= (ū1u1u- ū1 v1+ ū1 v1+ u v1) + (vu1 ū1+ v1ūū1 - v1ūū1 - v1 v)e =(|u1|2u+ u|v1|2)+(v|u1|2 + |v1|2v)e = (|u1|2+ |v1|2)u+ (|u1|2 + |v1|2)ve = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w. .С другой стороны,
(
1w1)w = |w1|2w.Сравнивая правые части этих равенств, получаем:
1(w1w) = ( 1w1)w.Рассмотрим уравнение wх = w1, где
w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K.
- известные октавы, а х - неизвестная октава. Умножим слева это уравнение на
, w ≠ 0. Тогда:В этом случае октава х называется левой частной от деленияоктавы w1ww на октаву w.
Аналогично, решением уравнения yw = w1 является
yyy=
w1 ,называемый правым частным от деления октавы w1ww на октаву w.
Найдем квадратный корень из октавы
www = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK.
Значение квадратного корня из этой октавы будем искать как октаву
θ= x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK,
где x, y, z, t, X, Y, Z, T
R, удовлетворяющий условию θ2 = w. Следовательно,(x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK)( x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK) = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK
x2 – y2 – z2 – t2 -X2 – Y2 – Z2 – T2+ 2xyi + 2xzj + 2xtk + 2xXe + 2 xYI +2xzj + 2xtk = = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DKЕслиx≠ 0, тo из первого уравнения системы следует, что
4х4 - 4ах2 – (b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) = 0
x2=
(a± ) = (a± |w|).Так как х2 ≥ 0, то х2 =
(a± |w|), откуда x=± .Определив х, значения y, z, t, X, Y, Z, Tнаходим из равенствy =
, z = , t = , X = , Y = , Z = , T = .Из рассмотрения свойств кватернионов и октав можно заметить, что у этих числовых систем много общего. Алгебраические формы записи элементов этих числовых систем представляют собой некоторые многочлены от действительного числа и мнимых единиц с действительными коэффициентами. Одинаковым образом вводится понятие элемента сопряженного данному элементу. Свойства сопряженных элементов одни и те же, в некоторых случаях лишь с поправкой на число мнимых единиц. Понятие модуля кватерниона и октавы вводится одинаковым образом и обладает одинаковыми свойствами. То, что квадрат чисто мнимого кватерниона или октавы есть неположительное действительное число, дает для них возможность записи в виде а + t, где а
R и t2 ≤ 0. Формула извлечения корня квадратного как из кватерниона, так и из октавы одна и та же, опять-таки с учетом количества мнимых единиц. При внимательном подходе к аксиоматическому определлллению этих числовых систем так же можно заметить общий подход к построению моделей этих числовых систем. Это так называемый метод удвоения, который заключается в том, что при введении нового числового множества мы строим декартов квадрат предыдущего чисссслового множества и новые числа рассматриваем как упорядоченные пары из чисел предыдущего числового множества. Так, удвоением множества действительных чисел получили множество комплексных чисел, удвоением множества комплексных-чисел - множество кватернионов, удвоением множества кватернионов - множество октав, причем операции сложения и умножения в построенных моделях определялись совершенно одинаково. Такими же свойствами обладает и множество комплексных чисел, однако, в силу того, что их. свойства хорошо изучены на младших курсах, здесь ограничились лишь аксиоматическим построением этой числовой системы.Теорема Фробениуса, которую мы рассмотрели в , поле комплексных чисел и тело кватернионов анализирует с общей точки зрения, как частные случаи ассоциативной линейной алгебры с делением и содержащей единицу. В дальнейшим мы попытаемся установить общий подход к таким числовым системам, как поле комплексных чисел, тело кватернионов и алгебра октав.
4.2 Алгебраическое сопряжение
Определение. Алгебраическим сопряжением называется сопряжение, которое в сочетании с операцией умножения позволяет в любой алгебре получать действительное число. Как видим, различий относительно сопряжения по мнимой единице два - во-первых, отсутствует требование использования операции сложения и во-вторых в сочетании с произведением требуется получение числа именно алгебры действительных чисел, а не одной из предшествующих удвоению.