х = х1е1 + х2е2 + .... + хпеп, у = y1е1 + y2е2 + .... + yпеп. .
Определение. Скалярным произведением элементов х, у
А называется сумма х1у1 + х2у2 + ... + хпуп.Обозначение скалярного произведения:
(х, у) = х1у1 + х2у2 + ... + хпуп.
В частности:
(х, х) =
+ +… + .Скалярное произведение элементов х, у
А должно удовлетворять общим условиям скалярного произведения в линейных пространствах:1)для любых х, у
А (х, у) ≥ 0 и (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;2)для любых х, у
А имеет место (х, у) = (у, х);3)для любых х, у
А и А R имеет место (λх, у) = (х, λу) = λ(х, у):4)для любых х, у, z
А имеет место (х, у + z) = (х, у) + (х, z).Определение. Линейная алгебра
называется нормированной, если в ней можно ввести скалярное произведение для любых х, у А таким образом, чтобы выполнялось равенство:(ху, ху) = (х, х)(у, у) . (
)Если положим
=|х|. то равенство ( ) записывается в виде:|ху| = |х|
|у|.Из (ху, ху) = (х, х)(у, у) следует, что если ху = 0, то либо х = 0, либо у = 0. В самом деле, тогда
(0, 0) = (х, х)(у, у)
(х, х)(у, у) = 0,откуда либо (х, х) = 0, либо (у, у) = 0. А тогда либо х = 0, либо у =0.
Лемма 1. Любой элемент линейной алгебры молено разложить на два слагаемых, одно из которых пропорционально какому-либо ненулевому элементу, а другое ортогонально ему.
Пусть e
А, и u e, а - произвольный элемент из А. Покажем, что найдется такое k R, что a - ke e. Тогда:a - ke
e (a – ke, e) = 0 (a, e) – k(e, e) = 0.Скалярное, произведение (е, е) ≠ 0, так как е ≠ 0. Тогда а = kе + (а - kе) = kе + u, где u = a - ke
e.Следствие. Если
- линейная алгебра с единицей 1, то для любого а А имеет место а = k1 + u, где u 1.Пример 1. Пусть (C, +, .R, .) - поле комплексных чисел. Базисом в С являются 1, i. Скалярное произведение двух комплексных чисел z =а+biи u=с+ di определим как (z, u) =
(zū + u ).Так как
zū = (а+ bi)(с- di) = (ac+bd)+(bc-ad)i,
u
= (с+ di)( а-bi) = (ac+bd)+(ad-cb)i,то(z, u) =
(zū + u ) = ac+bd.В частности,
(z, z) =
(z + z ) = z = |z|2 = a2+b2.Таккак,
zu = (ac-bd)+(ad+bc)i,
то(zu, zu) =
((zu)*( )+( zu)( ))=( zu)( )=|zu|2 = (ac-bd)2+( ad+bc)2=a2с2-2abcd + b2d2 + a2d2 + 2abcd + b2c2 = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 =
a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2)(c2 + d2) = | z |2
| u |2 = (z, z)(u, и),т.е. выполняется
(zu, zu) = (z, z)(u, и).
Проверим выполнение условий скалярного произведения:
1) (z, z) = | z |2 = a2 + b2 ≥ 0 и(z, z) = a2 + b2 = 0
a= 0 b= 0 z=0;2) (z, u) =
(zū + u ) = ( u +zū) =(u, z);3) (z, ku) =
(z +(ku) ) = k(zū + u ) =k(z, u);4) (z, u+v) =
(z +( u+v) ) = (zū+z + u + v ) = (zū+ u )+ ( z + v ) = (z+u)+(z+v).Итак, все условия скалярного произведения при
(z, u) =
(zū + u )выполнены для комплексных чисел zи u.
Пример 2. Пусть
- тело кватернионов. Базисом в К являются 1, i, j, k. Еслир = a+bi+cj+dk, q = a1+b1i+c1j+d1k,
то по свойству 6 сопряженных кватернионов
p
+ q = 2(aa1 + bb1 + cc1 + dd1).Возьмем в качестве скалярного произведения двух кватернионов р и q выражение
(p + q ) = aa1 + bb1 + cc1 + dd1.Итак,
(p, q) =
(p + q ).В частности,
(p, p) =
(p + p )= p = |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2.Проверим выполнение условий скалярного произведения: