Смекни!
smekni.com

Алгебра октав (стр. 13 из 19)

х = х1е1 + х2е2 + .... + хпеп, у = y1е1 + y2е2 + .... + yпеп. .

Определение. Скалярным произведением элементов х, у

А называется сумма х1у1 + х2у2 + ... + хпуп.

Обозначение скалярного произведения:

(х, у) = х1у1 + х2у2 + ... + хпуп.

В частности:

(х, х) =

+
+… +
.

Скалярное произведение элементов х, у

А должно удовлетворять общим условиям скалярного произведения в линейных пространствах:

1)для любых х, у

А (х, у) ≥ 0 и (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

2)для любых х, у

А имеет место (х, у) = (у, х);

3)для любых х, у

А и А
R имеет место (λх, у) = (х, λу) = λ(х, у):

4)для любых х, у, z

А имеет место (х, у + z) = (х, у) + (х, z).

Определение. Линейная алгебра

называется нормированной, если в ней можно ввести скалярное произведение для любых х, у
А таким образом, чтобы выполнялось равенство:

(ху, ху) = (х, х)(у, у) . (

)

Если положим

=|х|. то равенство (
) записывается в виде:

|ху| = |х|

|у|.

Из (ху, ху) = (х, х)(у, у) следует, что если ху = 0, то либо х = 0, либо у = 0. В самом деле, тогда

(0, 0) = (х, х)(у, у)

(х, х)(у, у) = 0,

откуда либо (х, х) = 0, либо (у, у) = 0. А тогда либо х = 0, либо у =0.

Лемма 1. Любой элемент линейной алгебры молено разложить на два слагаемых, одно из которых пропорционально какому-либо ненулевому элементу, а другое ортогонально ему.

Пусть e

А, и u
e, а - произвольный элемент из А. Покажем, что найдется такое k
R, что a - ke
e. Тогда:

a - ke

e
(a – ke, e) = 0
(a, e) – k(e, e) = 0.

Скалярное, произведение (е, е) ≠ 0, так как е ≠ 0. Тогда а = kе + (а - kе) = kе + u, где u = a - ke

e.

Следствие. Если

- линейная алгебра с единицей 1, то для любого а
А имеет место а = k1 + u, где u
1.

Пример 1. Пусть (C, +, .R, .) - поле комплексных чисел. Базисом в С являются 1, i. Скалярное произведение двух комплексных чисел z =а+biи u=с+ di определим как (z, u) =

(zū + u
).

Так как


zū = (а+ bi)(с- di) = (ac+bd)+(bc-ad)i,

u

= (с+ di)( а-bi) = (ac+bd)+(ad-cb)i,

то(z, u) =

(zū + u
) = ac+bd.

В частности,

(z, z) =

(z
+ z
) = z
= |z|2 = a2+b2.

Таккак,

zu = (ac-bd)+(ad+bc)i,

то(zu, zu) =

((zu)*(
)+( zu)(
))=( zu)(
)=|zu|2 = (ac-bd)2+( ad+bc)2=

a2с2-2abcd + b2d2 + a2d2 + 2abcd + b2c2 = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 =

a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2)(c2 + d2) = | z |2

| u |2 = (z, z)(u, и),

т.е. выполняется

(zu, zu) = (z, z)(u, и).

Проверим выполнение условий скалярного произведения:

1) (z, z) = | z |2 = a2 + b2 ≥ 0 и(z, z) = a2 + b2 = 0

a= 0
b= 0
z=0;

2) (z, u) =

(zū + u
) =
( u
+zū) =(u, z);

3) (z, ku) =

(z
+(ku)
) =
k(zū + u
) =k(z, u);

4) (z, u+v) =

(z
+( u+v)
) =
(zū+z
+ u
+ v
) =
(zū+ u
)+
( z
+ v
) = (z+u)+(z+v).

Итак, все условия скалярного произведения при

(z, u) =

(zū + u
)

выполнены для комплексных чисел zи u.

Пример 2. Пусть

- тело кватернионов. Базисом в К являются 1, i, j, k. Если

р = a+bi+cj+dk, q = a1+b1i+c1j+d1k,

то по свойству 6 сопряженных кватернионов

p

+ q
= 2(aa1 + bb1 + cc1 + dd1).

Возьмем в качестве скалярного произведения двух кватернионов р и q выражение

(p
+ q
) = aa1 + bb1 + cc1 + dd1.

Итак,

(p, q) =

(p
+ q
).

В частности,

(p, p) =

(p
+ p
)= p
= |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2.

Проверим выполнение условий скалярного произведения: