Алгебра октав (стр. 14 из 19)
1) (p, p) = |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2 ≥ 0 и (p, p) = a2+ b2 + c2 + d2 = 0
a= 0 
b= 0 c= 0 d= 0 p=0;2) (p, q) =
(p 
+ q 
) = ( q + p ) = (q; p);3) (p, kq) =
(p 
+(kq) ) = k(p + q ) =k(p, q);4) (p, q1+q2) =
(p 
+(q1+q2) ) = (p 1+ p 2+ q1 + q2 ) = (p 1+ q1 ) + (p 2+ + q2 ) = (p+q1)+(p+q2).Проверим равенство:
(pq, pq) = (p, p)(q, q).
В самом деле,
(pq, pq) =
((pq) * ( 
) + (pq) * ( )) = ((pq) * ( ) + (pq) * ( )) = (pq) * ( ) = p(q ) = |q|2p =|p|2 + |q|2 = (a2 + b2 + c2 + d2)* ( 
) = (p,p ) (q, q).Итак, все условия скалярного произведения при
(p, q) =
(p + q )выполнены для кватернионов р и q.
Пример 3. Пусть
- алгебра октав. Базисом в U являются 1, i, j, k, e, I, J, K.Если
w =и+ve =a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK, и w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1 J+D1K,
то по свойству 6) сопряженных октав
w
+w1 
=2 (aa1+bb1+cc1+dd1+AA1+BB1+CC1 +DD1).Возьмем в качестве скалярного произведения двух октав w и w1выражение
(w +w1 ) =aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD.Итак,
(w, w1) =
(w 
+w1 
).В частности,
(w, w) =
(w 
+w ) = w = | w |2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 .Проверим выполнение условий скалярногопроизведения:
1) (w, w) = | w |2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 ≥ 0 и (w, w) = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2
a= 0 b= 0 c= 0 d= 0 A = 0 b= 0 c= 0 d= 0 w = 0;2) (w, w1) =
(w 
1+w1 ) = (w1 +w 1) =(w1, w);3) (w, kw1) =
(w( 
1)+(kw1) ) = k(w1 +w 1) =k(w1, w);4) (w, w1+ w2) =
(w 
+(w1+w2) ) = ( w 1 + w 2+ w1 + w2 ) = (w 1 + w1 ) + (w 2+w2 ) = (w, w1)+( w, w2).Проверим равенство:
(ww1, ww1) = (w, w)(w1, w1).
Действительно,
(ww1, ww1) =
(( ww1)( 
) + (ww1)( )) = (( ww1)( 1 ) + (ww1)( 1 
)) = (ww1)( 1 ) = w(w1 1) = | w1 |2* w1 1 = | w |2 *| w1 |2 = (a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) * ( 
) = (w, w)(w1, w1).