Смекни!
smekni.com

Алгебра октав (стр. 15 из 19)

Итак, все условия скалярного произведения при

(w, w1) =

(w
1+w1
)

для октав w и w1 выполнены.

Лемма 2. В любой нормированной линейной алгебре

имеет место тождество:

(a1b1,a2b2) + (a1b2, a2b1) = 2(а1, a2)(b1, b2). (1)


Подставим в основное тождество (

) данной нормированной линейной алгебры вместо х сумму a1 + а2, а вместо у - элемент b. Тогда:

((a1 + а2)b, (а1 + a2)b) = (a1 + а2, а1 + а2)(b, b)

(a1b + a2b, a1b + a2b) = (a1+a2, a1+a2)(b, b)

(a1b + a2b, a1b) + (a1b + a2b, a2b) =

1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b, b) + 2(a1, a2)(b, b)

(a1b, a1b) + (a2b, a2b) + 2(а1b, a2b) =

(a1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b, b)+2(a1, a2)(b, b). (2)

Новсилуусловия (

):

(a1b, a1b) = (a1, a1)(b, b); (a2b, a2b) = (a2, a2)(b, b).

Тогда из (2) следует

(a1b,a2b) = (a1, a2)(b, b). (3)

Заменим в (3) b на сумму b1 + b2:

(a1(b1 + b2), a2(b1 + b2)) = (a1, a2)(b1 + b2, b1 + b2)

(a1b1+a1b2, a2b1+a2b2) = (a1, а2)((b1, b1)+(b2, b2)+2(b1, b2))

(a1b1, a2b1) + (a1b1, a2b2) + (a1b2, a2b1) + (a1b2, a2b2) =

(a1, a2)(b1, b1) + (a1, a2)(b2, b2) + 2(a1, a2)(b1, b2). (4)

Новсилу (З):

(a1b1, a2b1) = (a1, a2)(b1, b1); (a1b2, a2b2) = (a1, a2)(b2, b2).


Тогдаиз (4) следует

(a1b1, a2b2) + (a1b2, a2b1) = 2(a1, a2)(b1,b2),

что и требовалось доказать.

Лемма 3. В нормированной линейной алгебре

с единицей имеет место равенство

(аb)

= (b, b)а. (5)

Докажем это равенство для случая b

1 . По следствию из леммы 1 тогда для любого х
А имеет место х = k1 + b, откуда при х = b следует k= 0. В этом случае

= - b.

Рассмотрим элемент с = (ab)

-
а, где
= (b, b).

В силу свойств скалярного произведения имеем:

(с, с) = ((аb)

-
а, (аb)
-
а) =((аb)
, (ab)
) +
2(a, а)- 2
((ab)
, а). (6)

Упростим первое слагаемое в правой части равенства (6):

((аb)

, (ab)
) = (ab, аb)(
,
) = (а, а)(b, b)(
,
) = (a, а)(b, b)2 =
2(а, а).

Для упрощения третьего слагаемого в правой части равенства (6) воспользуемся тождеством (1), записав его в виде:


1b1, а2Ь2) = 2(а1, a2)(b1, b2) - (a1b2, a2b1).

Положив a1 = ab, b1 =

, a2 = a, b2 = 1, получим:

((аb)

, a) = 2(ab, а)(
, 1) - (ab, а
). (7)

Так как

b

1, то (
, 1) = (-b, 1) = -(b, 1) = 0.

Далее:

-(ab, а

) = -(ab, а(-b)) = (ab, ab) = (a, a)(b, b) =
(а, а).

Тогда:

((аb)

, а) =
(а, а).

Отсюда в равенстве (6) получаем:

(с, с) =

2(а, а) +
2(а, а) - 2
2(а, а) = 0.

Так как (с, с) = 0, то с = 0, или (ab)

-
а = 0, откуда

(аb)

=
а = (b, b)a.

Если b не ортогонален 1, то b = k1 + b/, где b/

1. Тогда

= k1 - b/ и (аb)
= (а(k1+ b/))(k1- b/) = k2а - (ab/)b/ = k2а + (аb/)
/.

Так как по доказанному выше:

(аb/)

/.= (
/,
/)а, то(аb)
= k2a + (b/, b/)a = [k2 + (b', b')]a = (b, b)a,

таккак

(b, b) = (k1+ b/, k1+ b/) = k2(1, l) + (b', b')+2k(b', l) = k2 + (b', b')

в силу того, что (1, 1) = 1 и (b/ , 1) = 0, так как b/

1.

Следствие 1. В нормированной линейной алгебре

с единипей имеет место равенство