Итак, все условия скалярного произведения при
(w, w1) =
(w 1+w1 )для октав w и w1 выполнены.
Лемма 2. В любой нормированной линейной алгебре
имеет место тождество:(a1b1,a2b2) + (a1b2, a2b1) = 2(а1, a2)(b1, b2). (1)
Подставим в основное тождество ( ) данной нормированной линейной алгебры вместо х сумму a1 + а2, а вместо у - элемент b. Тогда:
((a1 + а2)b, (а1 + a2)b) = (a1 + а2, а1 + а2)(b, b)
(a1b + a2b, a1b + a2b) = (a1+a2, a1+a2)(b, b)
(a1b + a2b, a1b) + (a1b + a2b, a2b) =
(а1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b, b) + 2(a1, a2)(b, b)
(a1b, a1b) + (a2b, a2b) + 2(а1b, a2b) =
(a1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b, b)+2(a1, a2)(b, b). (2)
Новсилуусловия ( ):
(a1b, a1b) = (a1, a1)(b, b); (a2b, a2b) = (a2, a2)(b, b).
Тогда из (2) следует
(a1b,a2b) = (a1, a2)(b, b). (3)
Заменим в (3) b на сумму b1 + b2:
(a1(b1 + b2), a2(b1 + b2)) = (a1, a2)(b1 + b2, b1 + b2)
(a1b1+a1b2, a2b1+a2b2) = (a1, а2)((b1, b1)+(b2, b2)+2(b1, b2))
(a1b1, a2b1) + (a1b1, a2b2) + (a1b2, a2b1) + (a1b2, a2b2) =
(a1, a2)(b1, b1) + (a1, a2)(b2, b2) + 2(a1, a2)(b1, b2). (4)
Новсилу (З):
(a1b1, a2b1) = (a1, a2)(b1, b1); (a1b2, a2b2) = (a1, a2)(b2, b2).
Тогдаиз (4) следует
(a1b1, a2b2) + (a1b2, a2b1) = 2(a1, a2)(b1,b2),
что и требовалось доказать.
Лемма 3. В нормированной линейной алгебре
с единицей имеет место равенство(аb)
= (b, b)а. (5)Докажем это равенство для случая b
1 . По следствию из леммы 1 тогда для любого х А имеет место х = k1 + b, откуда при х = b следует k= 0. В этом случае = - b.Рассмотрим элемент с = (ab)
- а, где = (b, b).В силу свойств скалярного произведения имеем:
(с, с) = ((аb)
- а, (аb) - а) =((аb) , (ab) ) + 2(a, а)- 2 ((ab) , а). (6)Упростим первое слагаемое в правой части равенства (6):
((аb)
, (ab) ) = (ab, аb)( , ) = (а, а)(b, b)( , ) = (a, а)(b, b)2 = 2(а, а).Для упрощения третьего слагаемого в правой части равенства (6) воспользуемся тождеством (1), записав его в виде:
(а1b1, а2Ь2) = 2(а1, a2)(b1, b2) - (a1b2, a2b1).
Положив a1 = ab, b1 =
, a2 = a, b2 = 1, получим:((аb)
, a) = 2(ab, а)( , 1) - (ab, а ). (7)Так как
b
1, то ( , 1) = (-b, 1) = -(b, 1) = 0.Далее:
-(ab, а
) = -(ab, а(-b)) = (ab, ab) = (a, a)(b, b) = (а, а).Тогда:
((аb)
, а) = (а, а).Отсюда в равенстве (6) получаем:
(с, с) =
2(а, а) + 2(а, а) - 2 2(а, а) = 0.Так как (с, с) = 0, то с = 0, или (ab)
- а = 0, откуда(аb)
= а = (b, b)a.Если b не ортогонален 1, то b = k1 + b/, где b/
1. ТогдаТак как по доказанному выше:
(аb/)
/.= ( /, /)а, то(аb) = k2a + (b/, b/)a = [k2 + (b', b')]a = (b, b)a,таккак
(b, b) = (k1+ b/, k1+ b/) = k2(1, l) + (b', b')+2k(b', l) = k2 + (b', b')
в силу того, что (1, 1) = 1 и (b/ , 1) = 0, так как b/
1.Следствие 1. В нормированной линейной алгебре
с единипей имеет место равенство