Алгебра октав (стр. 16 из 19)

(ах)

+(ау) = 2(х,у)а. (8)

Подставим в тождество (5) вместо b сумму х + y. Тогда

(а(х + у))(

) = (х + у, х + у)а (а(х + у))( + ) = ((х, х) + (у, у) + 2(х, у))а (ах) + (ау) + (ах) + (ау) = (х, х)а+(у, у)а + 2(х, у)а.

В силу тождества (5):

(ax)

= (х, х)а, (ау) = (у, у)а.

Тогда:

(ах)

+ (ау) = 2(х, у)а,

что и требовалось доказать.

Следствие 2. Нормированная линейная алгебра

с единицей является альтернативной линейной алгеброй.

Если в равенстве (5) (ab)

= (b, b)aположить а = 1, то получается b = (b, b)l = (b, b). Тогда (ab) = a(b ), откуда следует, что (ab)b = a(bb).

Аналогично можно доказать, что b(ba) = (bb)a.

Отсюда следует, что алгебра

является альтернативной линейной алгеброй.

п. п. 6.2 Теорема Гурвица

Пусть

- линейная алгебра с единицей. Согласно Лемме 1 каждый элемент а А однозначно представляется в виде

а = k1+ а', где k

Rи а' 1.

В алгебре

введем операпию сопряжения: элемент, сопряженный элементу а, есть элемент ā = k1- а' Если а = kl, то а' = 0 и ā = k1, т.е. ā = а. Если же а 1, то ā = - а.

Имеют место:

а) ā = а;

б) (

) = = = (k+l)1-(a^/ + b^/) = (k1 – a^/)(l1 – b^/).

Пусть

- подалгебра алгебры ,содержащая 1 и не совпадающая с .Выберем в В базис 1, i₁, i₂, … i_n, такой, что i₁ 1, i₂ 1, … i_n 1. Тогда любой элемент b B имеет вид: b = bо + b₁i₁ + b₂i₂ + … + b_ni_n, а сопряженный ему элемент b = b₀ - b₁i₁ - b₂i₂ - … - b_ni_n, откуда и В.

Пусть е - единичный элемент, ортогональный В, т.е. для любого b

В имеет место e b.

Рассмотрим множество В + Be = {b₁ + b₂e|b₁, b₂

В}. Покажем, что есть снова подалгебра алгебры .

Лемма 4. Подпространства

и ортогональны друг другу, т.е. для любых u₁, u₂ B имеет место u₁ u₂e.

Для доказательства этого факта в тождестве (1) положим вместо

а₁ = u₁, b₁ = u₂, a₂ = e, b₂ = 1.

Тогда

(u₁u₂, e) + (u₁, eu₂) = 2(u₁, e)(u₂, 1).

Так как u₁, u₂

В, то u₁u₂ В, а тогда u₁u₂ e, u₁ e.

Значит,

(u₁, u₂e) = 0, (u₁, e) = 0.

Тогда:

(u₁, u₂e) = 0, т.е. u₁

u₂e.

Теорема 1.

Представление любого элемента из В + Be в виде u₁+ u₂e, где u₁, u₂

В, единственно.

Пусть

u₁ + u₂e = u₁^/ + u₂^/e

u₁ - u₁^/ = (u₂^/ - u₂)e,

откуда следует, что v=u₁ - u₁^/ принадлежит одновременно двум ортогональным подпространствам В и Be. Тогда (v, v) = 0, откуда v= 0. Следовательно, u₁ - u₁^/ = 0 и (u₂^/ - u₂)e = 0. Из второго равенства либо u₂^/ - u₂ = 0, либо е = 0. Но е ≠ 0, следовательно, u₂^/ - u₂= 0. Тогда u₁ = u₁^/ и u₂ = u₂', т.е. представление элемента из В + Be в виде u₁ + u₂eединственно.

Лемма 5. Для любых u, v

А имеет место

(ue)v = (u

)e. (9)

Воспользуемся тождеством (8) из следствия к лемме 3, положив в нем а = u, х = е, у =

. Тогда:

(ue)v+ (u

) = 2(е, )u.

Так как

е, то

(е,

) = 0 и (ue)v+ (u ) = 0.

Но

= -е, так как е 1, тогда:

(ue)v + (u

)(- е) = 0 (ue)v = (u )e.

Лемма 6. Для любых u, v

A имеет место

u(ve) = (vu)e. (10)

Если в том же равенстве (8) положить а = 1, х = u, у = ve, то получаем:

(1*u)ve + 1*(

)ū = 2(u, ) * 1 u(ve) + ( )ū = 2(u, ).

Так как u

ve, то u , = -ve, в силу того, что из ve В следует ve 1. Следовательно,