Алгебра октав (стр. 17 из 19)
u(ve) + (-ve)ū = 0
u(ve) = (ve)ū.Воспользовавшись равенством (9), получаем, что (ve)ū = (vu)e. Тогда:
u(ve) = (vu)e.
Лемма 7.Для любых u, v
А имеет место(ue)(ve) = -
u. (11)Прежде всего убедимся, что если формула (11) верна при v= с и при v = d, то она имеет место и при v= c + d. Действительно, если
(uе)(се) = -
u и (ue)(de) = - 
u, тоue((c + d)e) = (ue)(ce + de) = (ue)(ce) + (ue)(de) = -
u - u = - ( + )u.Так как для любого v
В имеет место v = k1+ v/, где v/ 
1, то докажем равенство (11) по отдельности для k1 для v/. Тогда на основании сделанного выше замечания, равенство (11) будет справедливо и для v.Итак, пусть v= k1, откуда (11) принимает вид:
k(ue)e == -ku
(ue)e = -u -(ue) 
= -(e, e)u (uе) =u,которое верно в силу равенства (5), если учесть, что
= -е и (е, е) = 1.Пусть теперь v
l. Тогда = -v. Полагая в том же равенстве (8) а = u, х = е, у = -ve, получаем:(ue)(ve) + (u(-ve))
= 2(е, - ve)u (ue)(ve) - (u(ve)) = -2(е, ve)u. (12)Но (е, ve) в силу тождества (3) равно (1, v)(e, e) = 0, так как по условию v
1. В ситу (10) второе слагаемое в последнем равенстве (12) равно-(u(ve))
= -((vu)e) = -vu= 
u 
(ue)(ve) = - u.Теорема 2. Для любых u1 +u2e
В+Be и v1 + v2e В+Be имеет место равенство:(u1 + u2e)(v1 + v2e) = (u1v1 –
2u2) + (v2u1 + u2 1)e. (13) (13)Воспользовавшисьравенствами (9), (10) и (11), получаем:
(u1 + u2e)(v1+ v2e) = u1v1 + (u2e)v1 + u1(v2e) + (u2e)(v2e) = u1v1 + (u2
1)e + (v2u1)e - 2u2 = (u1v1 - 2u2) + (v2u2 + u2 1)e.Теорема З. Любая подалгебра алгебры
,содержащая единицу и не совпадающая со всей алгеброй ,ассоциативна, т.е. для любых u, v, w А имеет место (uv)w = u(vw).Снова воспользуемся равенством (8), положив в нем а =ve, х =
, у = ūe. Тогда((ve)
)(-ue) + ((ve)(ūe))w= 2( , ūe)(ve).Так как
(
, ūe) = ( *1, ūe) = 0в силу того, что
*1 ūe, то((ve)
)(-ūe) +((ve)(ūe))w = 0.Применив равенства (9) и (10), получаем:
u(vw) - (uv)w = 0, откуда (uv)w = u(vw).
Замечание: Так как алгебра
содержит единицу, то в ней имеется подалгебра, состоящая из элементов вида k1, где k R. Эта подалгебра изоморфна алгебре действительных чисел, обозначим ее D. Если в предыдущих рассуждениях в качестве В взять подалгебру D, то е будет любой вектор длины 1, ортогональный к 1.Из формулы (13) тогда следует, что
е2 = (0 +1* е)(0 +1* е) = (0* 0 -
* 1) + (1* 0 + 1* 
)е = -1 + 0* е = -1.Отсюда можно сделать вывод, что квадрат любого вектора a1
1 равен 
1, где ≤ 0.Докажем и обратное: если квадрат какого-либо элемента равен
1, где ≤ 0, то этот элемент ортогонален 1. В самом деле, квадрат любого элемента, не ортогонального 1, т.е. элемента вида а = k1+a/ где k≠ 0 и a/ 1, равен(k1+ a/)(k1 + a/) = k21 + а'2 + 2ka/ = k21 +
1 + 2k a/.Если это выражение пропорционально 1, то а/ = 0, следовательно, а = kl, но квадрат k1 не может равняться
1, где ≤ 0.Отсюда следует, что элементы, ортогональные 1, и только они характеризуются тем свойством, что их квадраты равны
1, где ≤ 0. Тогда для произвольного элемента а А берется его единственное представление в видеа = k1+a/, где а/2 =
1 и ≤ 0,а сопряженный ему элемент в виде ā = k1 - a'
Теорема Гурвица. Любая нормированная линейная алгебра, с единицей над полем действительных чисел изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплексных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.
Пусть
- нормированная линейная алгебра с единицей над полем действительных чисел, а 
- ее подалгебра, содержащая 1, е B, где е - единичный вектор. Как мы показали ранее, 
является подалгеброй алгебры (A, +, .R, .). Из теорем 1 и 2 следует, что .изоморфна удвоенной подалгебре 
.Рассмотрим подалгебру
, изоморфную полю действительных чисел (R, +, .). Если она не совпадает со всей алгеброй ,то найдется единичный вектор е D. Составим подалгебру 
, изоморфную удвоению , а следовательно, изоморфную полю комплексных чисел. Назовем ее комплексной подалгеброй алгебры . Из того, что сказано выше о сопряжении в алгебре , вытекает , что для элементов из D + De сопряжение совпадает с обычным сопряжением комплексных чисел.