Если, в свою очередь, подалгебра
,где С = D+ De, не совпадает со всей алгеброй ,то опять-таки найдется единичный вектор е/ С. Составим подалгебру изоморфную удвоению , а следовательно, и изоморфную телу кватернионов. Назовем ее кватернионной подалгеброй алгебры . Из вышесказанного о сопряжении в алгебре следует, что для элементов из С+Се/ сопряжение с впадает с обычным сопряжением в теле кватернионов.Если, в свою очередь, подалгебра
, где К = C+Ce', не совпадает со всей алгеброй , то снова найдется единичный вектор е" K. Составим подалгебру изоморфную удвоению , а следовательно, и изоморфную алгебре октав.Но эта подалгебра
, где U= К + Ке// совпадает уже c самой алгеброй ,так как по теореме 3 любая подалгебра алгебры , содержащая 1 и не совпадающая со всей алгеброй , ассоциативна. А так как умножение октав не ассоциативно, а в ее подалгебре (теле кватернионов) оно ассоциативно, то подалгебра совпадает со всей алгеброй .Резюмируя вышеизложенное, мы получаем, что если алгебра
не изоморфна ни одной из алгебр , или , то она изоморфна алгебре октав ,что и доказывает утверждение теоремы Гурвица.§7. Обобщенная теорема Фробениуса
Теорема. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением является нормированной линейной алгеброй.
Пусть
- альтернативная линейная алгнбра с делением над полем действительных чисел R. Введем в Aоперацию сопряжения следующим образом: если элемент а Aпропорционален 1, то ā = а; если же а не пропорционален 1. то он содержится в комплексной подалгебре . В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент ā, который и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре .Из определения ā непосредственно следует, что
= а, а также =kā, где k R.Пусть а
Aне пропорционален 1. Рассмотрим кватернионную подалгебру (K, +, .R, .), содержащую а. В этой подалгебре для а Aтоже имеется сопряженный элемент ā. Покажем, что а совпадает с ā.Элементы а и ā, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям:
а+ā = 2а* 1, где а
R, (14)а* ā = d*1, где d
R. (15)Элементы а и ā, как сопряженные в кватернионной алгебре, удовлетворяют условиям:
а+ ã = 2а1* 1, где а1
R, (14')а * ã = d1 *1, где d1
R. (15/)Вычтем из (14) и (15) соответственно (14/) и (15'). Тогда:
ā - ã = 2(a – a1)*1.
а (ā - ã) = (d- d1)* 1
2(a – a1)a*1.= (d- d1)* 1.Если
a(ā - ã), то a =
*1,т.е. а пропорционален 1, что противоречит предположению.
Отсюда следует, что элемент, сопряженный к а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры или же как элемент кватернионной подалгебры алгебры
.Точно так же |а|2 = аā как в случае комплексной подалгебры,так и в случае кватернионной подалгебры алгебры
, так , что модуль элемента а A не зависит от того, рассматриваем мы его как элемент комплексной или кватернионной подалгебры алгебры .Тогда для любых a, b
А справедливы равенства: =ā+ и = ā * . (16)Если а и b принадлежат одной комплексной подалгебре алгебры
, то равенства (16) есть свойства, сопряжения в этой подалгебре. Если же они принадлежат разным комплексным подалгебрам, то они будут верны как свойства сопряжения в кватернионной подалгебре алгебры .Из
= b и из второго равенства (16) вытекает, что = bā, откудаa
+ bā = с* 1, где с R.Определим в (A, +, .R, .) скалярное произведение (а, b) как
a
+ bā = 2(а, b) * 1.Покажем, что (а, b) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения:
1) (а, а) > 0 при а ≠ 0 и (0, 0) = 0.
В самом деле,
(а, а) * 1 =
(аā + аā) = аā = |а|* 1,а модуль комплексного числа, так же как модуль кватерниона, сторого положителен при а ≠ 0 и равен 0 при а = 0.
2) (a, b) = (b. а), таккак
a
+ bā = 2(a, b)* 1, bā + a = 2(b, a)* 1,но
a
+ bā = bā + a , тогда (a, b) = (b, a).3) (a, kb) = k(a, b) приk
R.Действительно,
(a, kb) =
(a( ) + kbā) = (a(k ) + kbā) = k (a + bā) = k(a, b).