Смекни!
smekni.com

Алгебра октав (стр. 2 из 19)

Действительно, с одной стороны:

(u3; v3)

((u1; v1) + (u2;v2)) = (u3; v3)
v(u2+ u1 ; v1 + v2) = (u3 (u1 +u2); (

)v3;

(v1+ v2)u3+ v3(

))= (u3 u1 +u3u2 -
1v3 -
2v3; v1 u3 +u2 u3+ v3ū1+ v3ū2);

сдругойстороны:


(u3; v3)

(u1; v1) +(u3; v3)
(u2; v2) = (u3 u1 -

1v3;v1 u3 + v3ū1)+ (u3 u2 -
2v3;v2 u3 + v3ū2)= (u3 u1 -
1v1 +u3 u2 -
2v3; v1 u3 + v3ū1 +v2 u3 + v3ū2).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в

дистрибутивно слева относительно сложения .

6) Покажем, что умножение в

не ассоциативно.

Действительно, с одной стороны:

((u1; v1)

(u2; v2))
(u3; v3) = (u1 u2 -

2v1; v2u1 + v1 ū2)
(u3; v3) = ((u1 u2 -
2v1)u3 -
3(v2u1 + v1ū2);

v3(u1 u2 -

2v1)- (v2u1 + v1ū2) ū3) = (u1 u2u3 -
2v1u3 -
3v2u1 -
3v1ū2; v3u1u2 - v3
2v1 - v2u1 ū3 - v1ū2 ū3).

С другой стороны:

(u1; v1)

((u2; v2)
(u3; v3)) = (u1; v1)
(u2u3 -

3v2; v3u2 + v2ū3) = (u1 (u2u3 -
3v2) –
v1;

v1

+ (v3u2 + v2ū3) u1) = (u1u2u3 - u1
3v2
v1 - u3
2v1; v1
- v1
2v3 + v3u2 u1 + v2ū3 u1).

Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что

((u1; v1)

(u2; v2))
(u3; v3) ≠ (u1; v1)
((u2; v2)
(u3; v3))

т.е. умножение в

не ассоциативно.

7) Рассмотрим произведения:


(u1;v1)

(u2;v2) = (u1u2 -

2v1 ; v2u1 + v1 ū2);

(u2;v2)

(u1;v1) =(u2u1 -

1v2 ; v1 u2 + v2 ū1).

Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что

(u1;v1)

(u2;v2) ≠ (u2;v2)
(u1;v1)

т.е. умножение в

не коммутативно.

8) Покажем, что имеет место равенство

((u1; v1)

(u2; v2))
(u2; v2) = (u1; v1)
((u2; v2)
(u2; v2))

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

((u1; v1)

(u2; v2))
(u2; v2) = (u1 u2 -

2v1; v2 u1 + v1 ū2)
(u2; v2) = ((u1 u2 -
2v1)u2 -
2(v2 u1 + v1ū2);

v2(u1 u2 -

2v1)- (v2 u1 + v1ū2) ū2) = (u1 u2 u2 -
2v1u2 -
2v2 u1 -
2v1ū2; v2u1u2 - v2
2v1 - v2 u1 ū2 - v1
) = (u1 u2 u2 -
2v1 (u2 + ū2)– |v2|2 u1; v2u1 (u2 + ū2)- v1
- |v2|2v1) .

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

(u1; v1)

((u2; v2)
(u2; v2)) = (u1; v1)
(u2 u2 -

2v2; v2 u2 + v2 ū2) = (u1(u2 u2 -
2v2) –(
)v1;