Действительно, с одной стороны:
(u3; v3)

((u
1; v
1) + (u
2;v
2)) = (u
3; v
3)

v(u
2+ u
1 ; v
1 + v
2) = (u
3 (u
1 +u
2); (

)v
3;
(v1+ v2)u3+ v3(

))= (u
3 u
1 +u
3u
2 -
1v
3 -
2v
3; v
1 u
3 +u
2 u
3+ v
3ū
1+ v
3ū
2);
сдругойстороны:
(u3; v3)

(u
1; v
1) +(u
3; v
3)

(u
2; v
2) = (u
3 u
1 -
1v
3;v
1 u
3 + v
3ū
1)+ (u
3 u
2 -
2v
3;v
2 u
3 + v
3ū
2)= (u
3 u
1 -
1v
1 +u
3 u
2 -
2v
3; v
1 u
3 + v
3ū
1 +v
2 u
3 + v
3ū
2).
Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в

дистрибутивно слева относительно сложения .
6) Покажем, что умножение в

не ассоциативно.
Действительно, с одной стороны:
((u1; v1)

(u
2; v
2))

(u
3; v
3) = (u
1 u
2 -
2v
1; v
2u
1 + v
1 ū
2)

(u
3; v
3) = ((u
1 u
2 -
2v
1)u
3 -
3(v
2u
1 + v
1ū
2);
v3(u1 u2 -
2v
1)- (v
2u
1 + v
1ū
2) ū
3) = (u
1 u
2u
3 -
2v
1u
3 -
3v
2u
1 -
3v
1ū
2; v
3u
1u
2 - v
3
2v
1 - v
2u
1 ū
3 - v
1ū
2 ū
3).
С другой стороны:
(u1; v1)

((u
2; v
2)

(u
3; v
3)) = (u
1; v
1)

(u
2u
3 -
3v
2; v
3u
2 + v
2ū
3) = (u
1 (u
2u
3 -
3v
2) –

v
1;
v1

+ (v
3u
2 + v
2ū
3) u
1) = (u
1u
2u
3 - u
1
3v
2 –

v
1 - u
3
2v
1; v
1 
- v
1
2v
3 + v
3u
2 u
1 + v
2ū
3 u
1).
Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что
((u1; v1)

(u
2; v
2))

(u
3; v
3) ≠ (u
1; v
1)

((u
2; v
2)

(u
3; v
3))
т.е. умножение в

не ассоциативно.
7) Рассмотрим произведения:
(u1;v1)

(u
2;v
2) = (u
1u
2 -
2v
1 ; v
2u
1 + v
1 ū
2);
(u2;v2)

(u
1;v
1) =(u
2u
1 -
1v
2 ; v
1 u
2 + v
2 ū
1).
Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что
(u1;v1)

(u
2;v
2) ≠ (u
2;v
2)

(u
1;v
1)
т.е. умножение в

не коммутативно.
8) Покажем, что имеет место равенство
((u1; v1)

(u
2; v
2))

(u
2; v
2) = (u
1; v
1)

((u
2; v
2)

(u
2; v
2))
Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:
((u1; v1)

(u
2; v
2))

(u
2; v
2) = (u
1 u
2 -
2v
1; v
2 u
1 + v
1 ū
2)

(u
2; v
2) = ((u
1 u
2 -
2v
1)u
2 -
2(v
2 u
1 + v
1ū
2);
v2(u1 u2 -
2v
1)- (v
2 u
1 + v
1ū
2) ū
2) = (u
1 u
2 u
2 -
2v
1u
2 -
2v
2 u
1 -
2v
1ū
2; v
2u
1u
2 - v
2
2v
1 - v
2 u
1 ū
2 - v
1 
) = (u
1 u
2 u
2 -
2v
1 (u
2 + ū
2)– |v
2|
2 u
1; v
2u
1 (u
2 + ū
2)- v
1 
- |v
2|
2v
1) .
Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:
(u1; v1)

((u
2; v
2)

(u
2; v
2)) = (u
1; v
1)

(u
2 u
2 -
2v
2; v
2 u
2 + v
2 ū
2) = (u
1(u
2 u
2 -
2v
2) –(

)v
1;