Действительно, с одной стороны:
(u3; v3) ((u1; v1) + (u2;v2)) = (u3; v3) v(u2+ u1 ; v1 + v2) = (u3 (u1 +u2); (
)v3;(v1+ v2)u3+ v3(
))= (u3 u1 +u3u2 - 1v3 - 2v3; v1 u3 +u2 u3+ v3ū1+ v3ū2);сдругойстороны:
(u3; v3) (u1; v1) +(u3; v3) (u2; v2) = (u3 u1 -
1v3;v1 u3 + v3ū1)+ (u3 u2 - 2v3;v2 u3 + v3ū2)= (u3 u1 - 1v1 +u3 u2 - 2v3; v1 u3 + v3ū1 +v2 u3 + v3ū2).Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в
дистрибутивно слева относительно сложения .6) Покажем, что умножение в
не ассоциативно.Действительно, с одной стороны:
((u1; v1) (u2; v2)) (u3; v3) = (u1 u2 -
2v1; v2u1 + v1 ū2) (u3; v3) = ((u1 u2 - 2v1)u3 - 3(v2u1 + v1ū2);v3(u1 u2 -
2v1)- (v2u1 + v1ū2) ū3) = (u1 u2u3 - 2v1u3 - 3v2u1 - 3v1ū2; v3u1u2 - v3 2v1 - v2u1 ū3 - v1ū2 ū3).С другой стороны:
(u1; v1) ((u2; v2) (u3; v3)) = (u1; v1) (u2u3 -
3v2; v3u2 + v2ū3) = (u1 (u2u3 - 3v2) – v1;v1
+ (v3u2 + v2ū3) u1) = (u1u2u3 - u1 3v2 – v1 - u3 2v1; v1 - v1 2v3 + v3u2 u1 + v2ū3 u1).Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что
((u1; v1) (u2; v2)) (u3; v3) ≠ (u1; v1) ((u2; v2) (u3; v3))
т.е. умножение в
не ассоциативно.7) Рассмотрим произведения:
(u1;v1) (u2;v2) = (u1u2 -
2v1 ; v2u1 + v1 ū2);(u2;v2) (u1;v1) =(u2u1 -
1v2 ; v1 u2 + v2 ū1).Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что
(u1;v1) (u2;v2) ≠ (u2;v2) (u1;v1)
т.е. умножение в
не коммутативно.8) Покажем, что имеет место равенство
((u1; v1) (u2; v2)) (u2; v2) = (u1; v1) ((u2; v2) (u2; v2))
Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:
((u1; v1) (u2; v2)) (u2; v2) = (u1 u2 -
2v1; v2 u1 + v1 ū2) (u2; v2) = ((u1 u2 - 2v1)u2 - 2(v2 u1 + v1ū2);v2(u1 u2 -
2v1)- (v2 u1 + v1ū2) ū2) = (u1 u2 u2 - 2v1u2 - 2v2 u1 - 2v1ū2; v2u1u2 - v2 2v1 - v2 u1 ū2 - v1 ) = (u1 u2 u2 - 2v1 (u2 + ū2)– |v2|2 u1; v2u1 (u2 + ū2)- v1 - |v2|2v1) .Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:
(u1; v1) ((u2; v2) (u2; v2)) = (u1; v1) (u2 u2 -
2v2; v2 u2 + v2 ū2) = (u1(u2 u2 - 2v2) –( )v1;