Смекни!
smekni.com

Алгебра октав (стр. 3 из 19)

v1 (

) + (v2 u2 + v2 ū2) u1) = (u1u2 u2 - u1
2v2
v1 – u2
2v1;

v1

- v1
2v2 + v2 u2 u1+ v2 ū2 u1) = (u1 u2 u2 - (u2 + ū2)
2v1 – u1|v2|2; (u2 + ū2)v2u1 + v1
- v1|v2|2).

Здесь следует учитывать, что

2v2 =v2
2 = |v2|2 и u2 + ū2 - действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо.

9) Покажем, что имеет место равенство

(u2; v2)

((u2; v2)
(u1; v1)) = ((u2; v2)
(u2; v2))
(u1; v1).

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

(u2; v2)

((u2; v2)
(u1; v1)) = (u2; v2)
(u2u1 -

1v2; v1 u2 + v2 ū1) = (u2(u1 u2 -
2v1) –
v2;

(v1 u2 - v2 ū1) u2 + v2

) = (u2u1 u2 - u2
1v2
v2 - u1
2v2; v1u2u2 + v2 ū1 u2 + v2
- v2
2v1) = (u2u1 u2 - u1 |v2|2 - (u2 + ū2)
1v2; v1u2u2 + v2 ū1(u2 + ū2)- |v2|2 v1).

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

((u2; v2)

(u2; v2))
(u1; v1) = (u2 u2 -

2v2; v2 u2 + v2 ū2)
(u1; v1) = ((u2 u2 -
2v2) u1 -
1(v2 u2 + v2 ū2);

v1(u2 u2 -

2v2) + (v2 u2 + v2 ū2) ū1) = (u2 u2 u1-
2v2 u1 -
1v2 u2 -
1v2 ū2; v1u2 u2 - v1
2v2 + v2 u2 ū1 + v2
) = u2 u2 u1 -
1v2(u2 + ū2) - |v2|2u1; v1u2 u2 - v1 |v2|2+ v2 ū1 (u2+ ū2).

Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.

Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в

альтернативно.

10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в

решим уравнение:

(u; v)

(x; y) = (u; v),

в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u≠ 0. Тогда:

(u; v)

(х; у) = (u; v)

(хu -
y; уи + v
) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=

,откуда:

(u-1

u) x = u-1

v+ u-1u
x =
v
=1+
уи.

Подставим полученное значение

во второе уравнение системы:

v(1+

уи) + уи = v
v+
v
уи+ уи = v
уи+уи=0
(
+1)уи=0,

откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0. Тогда

= 0 и из первого уравнения системы

их = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичным элементом в

.

В случае, если и = 0, v ≠ 0, второе уравнение .системы имеет вид v

= v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0, т.е. приходим к тому же решению.

Для определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в

решим уравнение: