v1 (
) + (v2 u2 + v2 ū2) u1) = (u1u2 u2 - u1 2v2 – v1 – u2 2v1;v1
- v1 2v2 + v2 u2 u1+ v2 ū2 u1) = (u1 u2 u2 - (u2 + ū2) 2v1 – u1|v2|2; (u2 + ū2)v2u1 + v1 - v1|v2|2).Здесь следует учитывать, что
2v2 =v2 2 = |v2|2 и u2 + ū2 - действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо.9) Покажем, что имеет место равенство
(u2; v2) ((u2; v2) (u1; v1)) = ((u2; v2) (u2; v2)) (u1; v1).
Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:
(u2; v2) ((u2; v2) (u1; v1)) = (u2; v2) (u2u1 -
1v2; v1 u2 + v2 ū1) = (u2(u1 u2 - 2v1) – v2;(v1 u2 - v2 ū1) u2 + v2
) = (u2u1 u2 - u2 1v2 – v2 - u1 2v2; v1u2u2 + v2 ū1 u2 + v2 - v2 2v1) = (u2u1 u2 - u1 |v2|2 - (u2 + ū2) 1v2; v1u2u2 + v2 ū1(u2 + ū2)- |v2|2 v1).Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:
((u2; v2) (u2; v2)) (u1; v1) = (u2 u2 -
2v2; v2 u2 + v2 ū2) (u1; v1) = ((u2 u2 - 2v2) u1 - 1(v2 u2 + v2 ū2);v1(u2 u2 -
2v2) + (v2 u2 + v2 ū2) ū1) = (u2 u2 u1- 2v2 u1 - 1v2 u2 - 1v2 ū2; v1u2 u2 - v1 2v2 + v2 u2 ū1 + v2 ) = u2 u2 u1 - 1v2(u2 + ū2) - |v2|2u1; v1u2 u2 - v1 |v2|2+ v2 ū1 (u2+ ū2).Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.
Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в
альтернативно.10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в
решим уравнение:(u; v) (x; y) = (u; v),
в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u≠ 0. Тогда:
(u; v) (х; у) = (u; v)
(хu - y; уи + v ) = (и; v)Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=
,откуда:(u-1 u) x = u-1
v+ u-1u x = v =1+ уи.Подставим полученное значение
во второе уравнение системы:v(1+
уи) + уи = v v+ v уи+ уи = v уи+уи=0 ( +1)уи=0,откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0. Тогда
= 0 и из первого уравнения системыих = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичным элементом в
.В случае, если и = 0, v ≠ 0, второе уравнение .системы имеет вид v
= v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0, т.е. приходим к тому же решению.Для определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в
решим уравнение: