(х; у) (u; v) = (u; v),
в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0Uи это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ≠ 0. Тогда:
(х; у) (и; v) = (и: v)
(хи - y; vх - уū) = (и; v)Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=
, откуда:x(u u-1) =
y + u*u-1 x = 1+ 2 yū,Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:
v(1+
2 yū) + уū= v v + 2v yū + уū= v yū+ уū= 0 ( + 1)уū =0,откуда при u≠ 0 следует, что у = 0 и из первого уравнения системы хu= и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в
. Обозначим (1; 0) = 1U,11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение:
(u; v) (х: у) = (1; 0)
(их - v; уи+ v ) = (1; 0)Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=
2, откуда:(u-1 u) x = u-1
v + u-1 x = 2+ 2 v = 2 + 2 yu.Подставим полученное значение
во второе уравнение системы:v
+ + уи= 0 2 + 2v yu + уи= 0 (|u|2 + |v|2) yu = - vu (|u|2 + |v|2) y = - v,откуда
у = -
.Тогда из второго уравнения системы
v
- u =0 v - =0 = x= .Итак, пара
(x; y) =
; -является правым обратным элементом для элемента (u; v) в
.Для определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в
решим уравнение:(х; у) (u; v) = (1; 0),
в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ≠ 0. Тогда:
(х; у) (u; v) = (1; 0)
(xu - y; vx + yū) = (1; 0)Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=
2 откуда:x
(u u-1) = y 2 + 2 x = 2 ( yū + ū).Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:
v
2( yū + + ū) + yū = 0 (|u|2 + |v|2) yū = - vūоткуда при ū ≠ 0 следует, что у = -
. и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаемxu -
= 1,откуда следует, что
xu= 1 -
= .Умножим это равенство справа на u-1=
, тогдаx =
* =