Смекни!
smekni.com

Алгебра октав (стр. 4 из 19)

(х; у)

(u; v) = (u; v),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0Uи это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ≠ 0. Тогда:

(х; у)

(и; v) = (и: v)

(хи -
y; vх - уū) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=

, откуда:

x(u

u-1) =

y
+ u*u-1
x = 1+
2
yū,

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v(1+

2
yū) + уū= v
v +
2v
yū + уū= v
yū+ уū= 0
(
+ 1)уū =0,

откуда при u≠ 0 следует, что у = 0 и из первого уравнения системы хu= и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в

. Обозначим (1; 0) = 1U,

11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение:

(u; v)

(х: у) = (1; 0)

(их -
v; уи+ v
) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=

2, откуда:

(u-1

u) x = u-1

v + u-1
x =
2+
2
v
=
2 +
2
yu.

Подставим полученное значение

во второе уравнение системы:

v

+
+ уи= 0
2 +
2v
yu + уи= 0
(|u|2 + |v|2) yu = - vu
(|u|2 + |v|2) y = - v,

откуда

у = -

.

Тогда из второго уравнения системы


v

-
u =0
v
-
=0
=
x=
.

Итак, пара

(x; y) =

; -

является правым обратным элементом для элемента (u; v) в

.

Для определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в

решим уравнение:

(х; у)

(u; v) = (1; 0),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ≠ 0. Тогда:

(х; у)

(u; v) = (1; 0)

(xu -
y; vx + yū) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=

2 откуда:

x

(u
u-1) =
y
2 +
2
x =
2 (
yū + ū).

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v

2(
yū + + ū) + yū = 0
(|u|2 + |v|2) yū = - vū

откуда при ū ≠ 0 следует, что у = -

. и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем

xu -

= 1,

откуда следует, что

xu= 1 -

=
.

Умножим это равенство справа на u-1=

, тогда

x =

*
=