Итак, пара
(x; y) =
; -является и левым обратным элементом для элемента (u; v) в
. Обозначим его (u, v)-1.Левый и правый обратные элементы для (u; v) совпадают и, следовательно, каждый ненулевой элемент обратим в
.Из 1)-11) следует, что алгебра
есть альтернативная линейная алгебра с делением и единицей, т.е. в данной модели первая аксиома полностью выполняется.Проверим выполнение второй аксиомы на построенной модели.
Пусть U1 = {(u; 0)| u
K}. Ясно, что U1 KxK.Покажем, что множество U1 замкнуто относительно введенных ранее операций сложения и умножения:
(u1, 0) + (u2, 0) = (u1 + u2: 0 + 0) = (u1 + u2: 0)
U1;(u1, 0) (u2, 0) = (u1 u2 –
0; 0 u1 + 0 ū2) = (u1 u2: 0) U1.Далее:
- (u; 0) = (- u; - 0) = ( - u; 0)
U1;(u; 0)-1 =
= U1,откуда следует, что
есть под тело алгебры , .Покажем, что
изоморфно телу кватернионов . Для этого рассмотрим отображение f : U1 → Kтакое, что ( (u; 0) є U1) f((u; 0)) = u, т.е. паре (и;0) ставит в соответствие кватернион и. Имеем:f ((u1; 0) + (u2; 0)) = f ((u1 + u2: 0)) = u1 + u2 = f ((u1; 0)) + f ((u2; 0));
f (- (u; 0)) = f (( - u; 0)) = - u = - f ((u; 0));
f ((u1; 0) (u2; 0)) = f ((u1 u2: 0)) = u1 u2 = f ((u1; 0)) f ((u2; 0));
f ((u; 0)-1) = f ((
; 0)) = ; 0 = u-1 = f ((u; 0)) -1,откуда следует, что отображение f является гомоморфным отображением алгебры
в тело кватернионов. Это отображение биективно, так какf ((u1; 0)) = f ((u2; 0))
u1 = u2 (и1; 0) = (и2; 0) и f (U1) = К.Следовательно, отображение f есть изоморфизм тела
на тело кватернионов (К, +, .), т.е. тело изоморфно телу кватернионов. В этом случае мы можем рассматривать тело как лишь другую модификацию тела кватернионов, а пару (u;0) отождествлять с кватернионом и. А так как есть подтело алгебры , то и изоморфное ему тело кватернионов является подтелом алгебры .Проверим выполнение третьей аксиомы. Для этого возьмем пару (0; 1). Имеем:
(0; 1)2 = (0; 1) (0; 1) = (0 0 -
1; 1 0+1 ) = (-1; 0) = -(1; 0) = -(1; 0) = - 1.С другой стороны:
(0; i) ≠ (i; 0) = i; (0: 1) ≠ (j; 0) = j; (0; k) ≠ (k; 0) = k.
Обозначим: (0; 1) = е. Следовательно, на построенной модели выполняется и третья аксиома.
Из проверки второй и третьей аксиом следует, что любой элемент (и; v)
, представим в виде u + ve, где и, vє К и е2 = -1. Действительно,(u; v) = (u; 0) + (0: v) = (u; 0) + (v; 0) * (0; 1) = и + ve.
Проверим выполнение четвертой аксиомы. Пусть
подалгебра алгебры , содержащее в себе тело кватернионов и элемент е. Ясно, что U/ К х К. Если мы покажем, что К х K U/, то тем самым совпадает с . Так как каждый элемент алгебры имеет вид u+ve, где и, v К. е2 = - 1, то u + vj U/, так как и, v К U/, e U/ и - альтернативная алгебра (а, следовательно, замкнута относительно сложения и умножения). Итак, К х K U/, откуда U/ = К х Kи, следовательно, имеет место выполнение четвертой аксиомы.Так как на построенной модели выполняются все четыре сформулированные выше аксиомы алгебры октав, то эта система аксиом алгебры октав непротиворечива.
Мы показали, что любая октава представима в виде u+ve. где и, v
К. Пустьu = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk, a,b,c,d, a,b,c,d
R.Тогда,
и + vе = a+bi+cj+dk + (A+Bi+Cj+Dk)e = a+bi+cj+dk+ Ae+B(ie)+C(je)+D(ke).
Вычислим
ie = (i; 0) (0; 1) = (i 0 -
0; 1 i + 0 ) = (0; i);je = (j; 0) (0; 1) = (j 0 -
0; 1 j + 0 ) = (0; j);ke = (k; 0) (0; 1) = (k 0 -
0; 1 k + 0 ) = (0; k),