Смекни!
smekni.com

Алгебра октав (стр. 6 из 19)

откуда следует, что ie, je, keотличны друг от друга и от предыдущих мнимых единид i, j, k, e.

Покажем, что (ie)2 = (je)2 = (ke)2 = -1. Действительно,

(ie)2 = (i; 0) (i; 0) = (i

i -

0; 0
i + 0
ī) = (-1; 0) = -1;

(je)2 = (j; 0) (j; 0) = (j

j -

0; 0
j + 0
ī) = (-1; 0) = -1;

(ke)2 = (k; 0) (k; 0) = (k

k -

0; 0
k + 0
ī) = (-1; 0) = -1.

Следовательно, ie, je, keможно выбрать в качестве новых мнимых единиц, обозначив их соответственно iе = I, je = J. ke = К и октаву w записать в виде

w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

гдеa,b,c,d, a,b,c,d

R.

Эту форму записи октавы назовем алгебраической формой. Обозначим КхK=U и назовем U алгеброй октав.

1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав

Теорема 2. Система аксиом алгебры октав категорична.

Пусть (U, +, ., e) и (U1,

,
, e1 ) - две модели алгебры октав и e2 = -1, e21 = Ө1.

Рассмотрим отображение Ф : U → Uтакое, что

Ф (u+ve) = u

v
e1, u,v
К.

Покажем, что Ф - гомоморфное отображение первой модели на вторую модель.

Пусть w1 = u1+v1e и w2 = u2+v2e. Тогда:


Ф(w1+ w2) = Ф((u1+v1e) + (u2+v2e)) = Ф((u1+u2)+(v1+v2)e) = (u1+u2)

(v1+v2)
e1 = (u1
v1
e1 )
(u2
v2
e1) = Ф(u1+v1e)
Ф(u2+v2e) = Ф(w1)
Ф(w2);

Ф(w1

w2) = Ф((u1+v1e)
(u2+v2e)) = Ф((u1u2 -

2v1)+(v2u1 + v1ū2)e) = (u1u2 -
2v1)
(v2u1 + v1 ū2)
e) =(u1
u2 Ө
2
v1)
(v2u1
v1
ū2)
e) =(u1
v1
e1)
( u2
v2
e1) = Ф(u1+v1e)
Ф(u2+v2e) = Ф(w1)
Ф(w2);

Ф(-w) = Ф (-(u+ve)) = Ф (-u -ve) = ӨuӨv

e1 = Ө(u
v
e1) = ӨФ(u+ve)= ӨФ(w);

Ф(w-1)=Ф((u+ve)-1)=Ф(

Ө
e)= (
Ө
e) =
Ө
e = (u
v
e1)-1 = (Ф(u+ve)Ө1) = (Ф(w)) Ө1.

Следовательно, отображение Ф есть гомоморфное отображение алгебры

в (U1,
,
, e1 ).

Покажем, что отображение Ф инъективно:

Ф(w1)=Ф(w2)

Ф(u1+v1e) = Ф(u2+v2e)
u1
v1
e1 = u2
v2
e1
u1=u2
v1=v2
u1+v1e= u2+v2e
w1= w2.

Сюръективность отображения Ф очевидна, так как

(

q
U1) (
u,v
K)p= u
v
e1
(
u+ve = w
U) Ф(w) = p.

Итак, отображение Ф есть изоморфизм алгебры

на алгебру (U1,
,
,e1) и, следовательно, система аксиом алгебры октав категорична ввиду изоморфности произвольных ее моделей.