Смекни!
smekni.com

Алгебра октав (стр. 7 из 19)


§2. Дополнительные сведения об октавах

В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы установили, что любую октаву можно представить в виде:

w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

где a,b,c,d, a,b,c,d

R иi2 = j2 = k2 = e2=I2= j2 = k2 = -1,

причем iе = I, je = J, ke = К по обозначению.

Через пары эти мнимые единицы выражались следующим образом:

i=(i; 0), j=(j; 0), k=(k; 0), e=(0; 1), I=(0; i), j=(0; j), k=(0; k).

Вычислим другие произведения мнимых единиц:

iI = (i; 0)(0; i) = (i

0 – ī
0; i
i + 0

) = (0; -1) = -(0; 1) = - e;

iJ = (i; 0)(0; j) = (i

0 –

0; j
i + 0
) = (0; -k) = -(0; k) = - K;

iK = (i; 0)(0; k) = (i

0 –

0; k
i + 0
) = (0; j) = J;

I i = (0; i)(i; 0) = (0

i –

i; 0
0; + i
ī) = (0; 1) = e;

J i = (0; j)(i; 0) = (0

i –

j; 0
0; + j
ī) = (0; k) = K;

K i = (0; k)(i; 0) = (0

i –

k; 0
0; + k
ī) = (0; -j) = - (0; j) = -J;

jI = (j; 0)(0; i) = (j

0 – ī
0; i
j + 0

) = (0; k) = K;

jJ = (j; 0)(0; j) = (j

0 –

0; j
j + 0
) = (0; -1) = -(0; 1) = - e;

jK = (j; 0)(0; k) = (j

0 –

0; k
j + 0
) = (0; - i) = - (0; i) = -I;

I j = (0; i)(j; 0) = (0

j –

i; 0
0 + i
) = (0; -k) = -(0; k) = - K;

J j = (0; j)(j; 0) = (0

j –

j; 0
0; + j
) = (0; 1) = e;

K j = (0; k)(j; 0) = (0

j –

k; 0
0; + k
) = (0; i) = I;

kI = (k; 0)(0; i) = (k

0 – ī
0; i
k + 0

) = (0; -j) = - (0; j) = -J;

kJ = (k; 0)(0; j) = (k

0 –

0; j
k + 0
) = (0; i) = I;

kK = (k; 0)(0; k) = (k

0 –

0; k
k + 0
) = (0; -1) = - (0; 1) = - e;

I k = (0; i)(k; 0) = (0

k –

i; 0
0; + i
) = (0; j) = J;

J k = (0; j)(k; 0) = (0

k –

j; 0
0; + j
) = (0; - i) = - (0; i) = -I;

K k = (0; k)(k; 0) = (0

k –

k; 0
0; + k
) = (0; 1) = e;