§3.Действия над октавами
Так как по доказанному пара вида (и; v), где u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk
K, есть и u+ ve, или в алгебраической формеa+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
то сложение двух октав осуществляется как сложение двух многочленов по правилу:
p+ q= (a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) +(a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K) =
= a+a1+(b+b1)i +(c+c1)j +(d+d1)k +(A+ A1)e +(B+B1)I +(C+C1)J +(D +D1)K.
Умножение октав выполняется так; же, как умножение двух многочленов с учетом порядка, умножения мнимых единиц, представленного в вышеприведенной таблице.
Упражнения: 1. Приведите полное представление произведения двух октав
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
и w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K
валгебраическойформе.
(a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK)( a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K)=a a1+ab1 i+ ac1j+ad1k+aA1E+aB1I+aC1J+aD1K+bia1+bib1i+bic1j+bid1k+diA1E+biB1I+biC1J+
biD1K+cja1+cjb1i+cjc1j+cjd1k+cjA1E+cjB1I+cjC1J+cjD1K+dka1+dkb1i+dkc1j+dkd1k+dkA1E+dkB1I+dkC1J+dkD1K+AEa1+AEb1i+AEc1j+AEd1k+AEA1E+AEB1I+AEC1J+AED1K+ BIa1+BIc1j+BId1k+BIA1E+BIB1I+BIC1J+BID1K+CJa1+Cjb1i+CJc1j
+CJd1k+CJA1E+CJB1I+CJC1J+CJD1K+Dka1+DKb1i+DKc1j+DKd1k+DKA1E+DKB1I+DKC1J+DKD1K=aa1+ab1i+ac1j+ad1k+aA1E+aB1I+aC1J+aD1K+bia1-bb1+bc1k-bd1j-bA1I+bB1E+bC1K+bD1J+cja1-cb1k-cc1+cd1i-cA1J+cB1K-Cc1E +cD1I+dka1+db1j-c1di-dd1+dA1K-dB1J+dC1I-dD1E+AEa1-Ab1I-Ac1J-Ad1K-AA1+Ab1i+AC1j+AD1k+Bia1+Bb1E-Bc1K+Bd1J-Ba1i-BB1-BC1k+BD1j+CJa1+Cb1K-Cc1E-Cd1I-CA1j+CB1k-CC1-CD1i+DK1a-Db1J-Dc1I+Dd1E-DA1k-DB1j+DC1i-DD1=aa1-bb1-cc1-dd1-AA1-BB1-CC1-DD1+i(ab1+ba1+cd1-dc1+AB1-BA1- -cD1+Dc1)+j(ac1-bd1+ca1+db1+AC1+BD1-CA1-DB1)+k(ad1+bc1-cb1+da1+AD1-BC1+CB1-Da1)+E(aA1-bB1-cC1-dD1+Aa1+Bb1+Cc+Dd1)+I(aB1+bA1-Cd1+dC1-Ab1+Ba1-Cd1-Dc1)+J(ac1+bD1+cA1-dB1-Ac1+Bd1+Ca1-Db1)+K(aD1-bC1+cB1+Da1-Ad1-Bc1+ Cb1 +Da1).
Этот результат можно записать в матричной форме:
, .Решение примеров:
Пример 1.
Сложить кватернионы:
(1+i-2j+15E-17J)+(-2+5j-17E+20K)= -1+i+3j-2E-17J+20K.
Пример 2.
Выполнитьумножение:
(1+3K)(2-i+3j+2E+2K)=2-i+3j+2E+2K+6K-3Ki+9Kj+6KE-6=2-i+3j+2E+8K+3J-9I+6K-6=-4-i+2E-9I+14K.
Пример 3.
Решить уравнение:
(1-2i+4K)x=(2-3j+J)(3-5k+E)-5J+8k.
В правой части приведем подобные слагаемые.
(2-3j+J)(3-5k+E)-5J+8k=6-10k+2E-9j+15jk-3jE+3J-5Jk+JE-5J+8k=6-10k+2E-9j+15i-3J+3J-5I-j-5J+8k=6+15i-10j-2k+2E-5I-5J.
x=(1-2i+4K )-1(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J);
x=((1+2i-4K )(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J))/21=1/21(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J+12i-30-20k+4j-4I-10E-10K-24K-60J-40I-8E-8K+20J-20I)=1/21(-24+27i-6j-22k-16E-69I-45J-442K)
§4. Сопряженные октавы и их свойства
Определение. Если дана октава
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
то октава
= a-bi-cj-dk- Ae-BI-CJ-DKназывается сопряженным ему. В случае, когда октава w выражена через кватернионы и и v как u+ ve, то сопряженная ей октава равна
= ū- ve.Свойства сопряженных октав:
1) р +
= 2а R (выводится непосредственным сложением октавыр=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK
ссопряженнойейоктавой).
(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)+ (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)=2a.
2)w
= w = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.Всамомделе:
w
=(u+ ve)(ū- ve) = (u ū –(- )v)+(-vu+vu)e = (u ū+ )+(-vu+vu)e =(|u|2 + |v|2) + 0 e = |u|2 + |v|2.Здесь и и vкватернионы
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk.
А так как
|u|2 = a2 + b2 + c2 + d2, |v|2 = A2 + B2 + C2 + D2,
тоw
=|u|2 + |v|2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.Аналогично доказывается равенство
w = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.3) w=
w= а R.4)
= +(вычисление левой и правой частей равенства дает
одинаковые значения).
В самом деле:
w1+ w = (a+bi+cj+dk+( Ae+BI+CJ+DK))+ (a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K);
леваячасть:
=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k- A1e-B1I-C1J-D1K);праваячасть:
= (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK); =( a1-b1i-c1j-d1k- A1e-B1I-C1J-D1K); + =(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k-A1e-B1I-C1J-D1K).Отсюда следует, что
:
= + .5)
= .Пусть
w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,
где u, u1v, v1 - кватернионы.
Так как
w w1= (u+ ve) ( u1+ v1e) = (uu1 -
v) + (v1u+vū1)e,то
= + (v1u+vū1)e= (ū1ū - v) - (v1u+vū1)e.С другой стороны:
= (ū1 - v1e) (ū - ve) = (ū1 ū -(- (-v1))+(- vū1 -v1 ) = (ū1ū - v1) - (vū1 +v1u)e.В силу совпадения правых частей полученных равенств и следует тождество 5.
6) w
+w1 =2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1) R,