Смекни!
smekni.com

Алгебра октав (стр. 1 из 19)

Оглавление

Введение

§1.Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав

§2. Дополнительные сведения об октавах

2.1 Действия над октавами

2.2 Сопряженные октавы и их свойства

2.3.Некоторые тождества для октав

§3. Теорема Гурвица

3.1 Нормированные линейные алгебры

3.2 Теорема Гурвица

§4. Обобщенная теорема Фробениуса

Список литературы


Введение

Одному известному английскому философу-материалисту Д. Гартли принадлежало высказывание- "Поскольку слова могут быть сравнены с буквами, употребляемыми в алгебре, сам язык можно назвать одним из видов алгебры, и наоборот, алгебра есть не что иное, как язык, который особым образом приспособлен к объяснению величин всех родов… И вот, если все относящееся к языку имеет что-либо аналогичное в алгебре, то можно надеяться объяснить трудности, возникающие в теории языка, при посредстве соответствующих конкретных положений алгебры, в которой все ясно и признано всеми, кто сделал ее предметом своего изучения".

Предметом моего изучения является один из разделов не ассоциативной алгебры - алгебра октав.

Цель данной исследовательской работы- выявить сущность алгебры октав, а так же выявить, каким образом производятся действия над упорядоченной восьмеркой чисел, т.е. над (1, i, j, k, E, I, J, K).Не ассоциативные алгебры в настоящее время покрыты мифами экзотики. На самом деле ничего особенного, кроме потери ассоциативности, в них нет. Впрочем, эта потеря существенна. Если можно выразиться образно, то в космосе алгебр за ассоциативными уже ничего "живого" нет. Среди не ассоциативных алгебр наиболее известной является простейшая из них - алгебра октав. Или, иначе, четвертая алгебра Фробениуса, она же алгебра Кэли-Диксона.

Рассмотрим алгебраическое определение октавы.

Октавой - называется число гиперкомплексной алгебры, полученной некоммутативным удвоением по Кэли алгебры кватернионов:

Здесь обозначены:

O - октава,

Q - кватернионы,

E - мнимая единица.

.

Октавы во многих случаях уместно рассматривать как существенное расширение кватернионов. Так же как и кватернионы, октавы не имеют делителей нуля, и квадрат модуля так же выражается простой квадратичной формой. Для них, так же как и для кватернионов, можно определить условное скалярное произведение. Которое и использовалось Фробениусом.

Объектом данной дипломной работы являются гиперкомплексные числа.

Для октав, как и для других гиперкомплексных чисел, определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания определены покомпонентно. Умножение октав определено таблицей произведения их мнимых единиц. Для выполнения деления производится замена операции деления на операцию умножения.

При использовании гиперкомплексных чисел и их исследовании часто встречается операция сопряжения.

Для октав определены две операции сопряжения - алгебраическое и векторное. Два других сопряжения - дуальное и скалярное не применимы в силу отсутствия в строении октав скалярной и дуальной мнимых единиц. При этом векторное и алгебраическое сопряжения совпадают. Октава, сопряженная заданной, образуется сменой знаков у компонент при всех мнимых единицах. Или, если ,обозначить октаву покомпонентно как

,

то сопряженная ей октава будет иметь вид:

.

§1. Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

Определение. Алгеброй октав называется алгебра

, если:

I. Алгебра

- альтернативная линейная алгебра;

II. Тело кватернионов

есть подтело алгебры
;

III. е2 = -1 и е ≠ i, е ≠ j, е ≠ k;

IV.Всякая подалгебра альтернативной линейной алгебры

, содержащая тело кватернионов и элемент е, совпадает с алгеброй
.

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

Теорема 1. Система аксиом алгебры октав непротиворечива. Для доказательства непротиворечивости сформулированной выше системы аксиом построим следующую модель. Составим декартово произведение KxK= {(u,v)|u

K
v
K}, где К - множество кватернионов. По определению, (u1;v1) = (u2;v2)
u1 =u2
v1 = v2.

Во множестве К х K определим операции сложения и умножения по правилам:

(u1;v1) + (u2;v2) = (u1 +u2 ; v1 + v2);

(u1;v1) * (u2;v2) = (u1u2 - v2v1 ; v2u1 + v1 ū2).

Перейдем к проверке выполнения аксиом на построенной модели. Покажем, что алгебра

есть альтернативная линейная алгебра.

Сначала покажем, что (К x К, +) есть абелева группа.


1) ((u1;v1) + (u2;v2)) + (u3;v3) = (u1 +u2 ; v1 + v2) + (u3; v3) = ((u1 +u2) + u3; (v1 + v2) + v3) = (u1 +(u2 + u3); v1 + (v2 + v3)) = ((u1; v1) + (u2+ u3;v2+ v3) = (u1; v1) + ((u2; v2) + (u3; v3)),

т.е. сложение в (К х K, +) ассоциативно.

2) (u1; v1) + (u2; v2) = (u1 +u2 ; v1 + v2) = (u2 +u1; v2 + v1) = (u2; v2) + (u1; v1),

т.е. сложение в (К х K, +) коммутативно.

3) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (u; v);

(u+ x; v+ y) = (u; v)

u+ x = u^ v+ y= v;
x = 0, y = 0 ,т.е. (x; у) = (0;0).

Следовательно, нейтральным элементом в (К х K, +) является пара (0; 0). Обозначим (0; 0) = 0U.

4) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (0; 0):

(u+ x; v+ y) = (0; 0)

u+ x = 0^ v+ y= 0
x = - u ^ y = - v, т.е. (x; у) = (- u; - v) или -(u; v) = (- u; - v).

Из 1) ,4) следует, что алгебра (К х K, +) есть абелева группа. Покажем, что алгебра (К х K, +, .) есть кольцо, но не ассоциативное и не коммутативное.

5) Покажем, что умножение в

дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа.

С одной стороны:


((u1; v1) + (u2; v2))

(u3; v3) = (u1 +u2 ; v1 + v2)
(u3; v3) = ((u1 +u2) u3 -

3(v1 + v2); v3(u1+u2)+ (v1 + v23) = (u1u3 +u2u3 -
3v1 -
3v2; v3u1+ v3u2+ v1 ū3 + v2ū3).

С другой стороны:

(u1; v1)

(u3; v3) + (u2; v2)
(u3; v3) = (u1u3 -

3v1; v3u1 + v1ū3)+(u2u3 -
3v2; v3u2+ v2ū3)=(u1u3 -
3v1 + u2u3 -
3v2; v3u1 + v1ū3 + v3u2+ v2ū3).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,

((u1; v1) + (u2; v2))

(u3; v3) = (u1; v1)
(u3; v3) + (u2; v2)
(u3; v3),

т.е. умножение в

дистрибутивно справа относительно сложения.

Аналогично устанавливается равенство:

(u3; v3)

((u1; v1) + (u2; v2)) = (u3; v3)
(u2; v2) + (u3; v3)
(u1; v1).