Алгебраические системы замыканий (стр. 2 из 8)

{a, b}

{a, b}, {a, c}

{a, c}, {b, c}

{b, c}.

Очевидно, что аксиома J. 2 не выполняется, так как {a}

{a, b}, но ({a}) = A

{a, b} = ({a, b}).

Следовательно, мы показали, что система аксиом J. 1 – J. 3 будет независима.

Одним из видов операторов замыкания является алгебраический оператор замыкания. Дадим определение.

Определение 6. Оператор замыкания  на множестве A называется алгебраическим, если для любых X

A и a

(X) влечет a
(F)

для некоторого конечного подмножества F множества X.

С определением алгебраического оператора замыкания тесно связано понятие алгебраической системы замыканий.

Определение 7. Система замыканий D на множестве Aназывается алгебраической, если соответствующий оператор замыкания  является алгебраическим, то есть для любого X

{ D

D : X
D} влечёт a

{ D

D : F
D}

для некоторого конечного F

Приведём один из наиболее важных примеров оператора замыкания, который широко применяется в топологии. Этот оператор ставит в соответствие каждому подмножеству Xтопологического пространства A его замыкание.

Пример 1.2: Пусть

– топологическое пространство. Введем на множестве A отображение

, заданное следующим образом: X
[X], где [X] – замыкание множества X
A. Покажем, что

– оператор замыкания на множестве A.

Для этого проверим выполнимость свойств J. 1 – J. 3.

1) ЕслиX

Y, то [X]
[Y].

Возьмем x₀

[X]. Тогда любая окрестность точки x₀ содержит точки множества X

в любой окрестности точки x₀ содержатся точки множества Y

x₀[Y].

2) X

[X].

Каждая точка множества является его точкой прикосновения. Значит, каждая точка множества X лежит и в [X].

3) [[X]] = [X]. Докажем методом двойного включения.

a) [X]

[[X]]. Доказано во втором пункте.

b) x₀

[[X]]
Возьмем

U (x₀), для неё

y₀
U (x₀)
[X]
y – точка прикосновения множества X

U (y₀) найдутся точки множества X. Возьмем U (y₀)
U (x₀),

z₀U (y₀)
X. Отсюда z₀U (x₀)
X. Тогда x₀ – точка прикосновения множества X
x₀
[X]. Таким образом, [[X]]
[X].

Пример 1.3: Каждому множеству X точек плоскости A = R² поставим в соответствие его выпуклую оболочку

. Ясно, что X

оператор замыкания на множестве A.

Предложение 1. Если A – такое упорядоченное множество с наибольшим элементом, в котором каждое подмножество обладает точной нижней гранью, то A является полной решеткой.

Доказательство:

∆ Заметим, что если каждое подмножество точной нижней гранью обладает, следовательно, ей обладает и пустое множество, то есть в A существует наибольший элемент.

Требуется доказать, что A – полная решетка, то есть любое непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элемент.

Рассмотрим X

A, Y – множество всех верхних граней множества X в A и положим y = infY. Тогда любой элемент из X будет нижней гранью множества Y и, следовательно, x

yдля любого x
X; если также x
zдля любого x
X, то z
Yи, следовательно, y
z. Поэтому y = supX.▲

Определение 8. Упорядоченное множество (I,

) называется направленным, если для любых i, j

I существует такой элемент k

I, что i

k, j

k, то есть для любого двухэлементного множества из I существует верхняя граница.

Предложение 2. Пусть A – упорядоченное множество; тогда следующие три условия эквивалентны:

(i) Каждое непустое направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань.

(ii) Каждая непустая цепь множества A имеет точную верхнюю грань.

Доказательство:

∆ Каждая вполне упорядоченная цепь является цепью, и каждая цепь направлена, следовательно, (i)

(ii); чтобы закончить доказательство, покажем, что (ii)(i). Возьмем максимальную цепь, в ней существует точная верхняя грань. Тогда по лемме Цорна и направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань. ▲

Предложение 3 (лемма Цорна). Непустое упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью, имеет максимальный элемент, точнее для любого элемента a из A существует элемент b

a, являющийся максимальным в A.