Алгебраические системы замыканий (стр. 3 из 8)

Лемма Цорна была предложена в 1935 году. Она часто заменяет рассуждения, основанные на таких эквивалентных ей принципах, как принцип максимальностиХаусдорфа, аксиома выбора, теорема Цермело о вполне упорядоченности.

Можно показать эквивалентность этих утверждений лемме Цорна, но мы не будем этого делать, так как это не является целью дипломной работы. Лемма Цорна принимается нами в качестве аксиомы.

§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания

В параграфе 1 были даны определения систем замыканий и операторов замыкания. Между ними существует взаимосвязь. Сформулируем эту взаимосвязь в качестве теоремы и докажем её.

Теорема 1.Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания  на A по правилу

(X) = ∩{Y

D | Y

X}.

Обратно, каждый оператор замыкания  на A определяет систему замыканий

D = {X

A|(X) = X}.

Доказательство:

∆ 1) Пусть дана система замыканий D и оператор , определенный по правилу (X) = ∩{Y

D | Y

X}. Докажем, что  – оператор замыкания. Для этого проверим выполнимость условий J. 1 – J. 3. Этот оператор удовлетворяет условиям J. 1 – 2 по определению. По условию, D – система замыканий. Тогда

(X) = X

X

D, (1)

так как (X)

D, то отсюда вытекает J. 3.

2) Обратно, пусть задан оператор замыкания  (удовлетворяющий J. 1 – 3) и пусть

D = {X

A | (X) = X}. (2)

Докажем, что D – система замыканий. Если (X_i)_i

_I – произвольное семейство в D и ∩X_i=X, то X

X_i; следовательно, по J. 1. (X)

(X_i) = X_iдля всех i, и поэтому

(X)

∩X_i = X.

Вместе с условием J. 2 это показывает, что (X) = X, то есть X

D. Таким образом, с помощью  мы построили систему замыканий D.

3) Покажем, что соответствие D

 взаимно однозначно.

Во-первых, пусть D – произвольная система замыканий,  – оператор, определенный равенством (X) = ∩{Y

D | Y

X} для всех X

A, и D ' – система замыканий, определенная оператором  по формуле (2). Тогда D ' = D в силу (1). Возьмем затем произвольный оператор замыкания , и пусть D – система замыканий, определенная оператором  по формуле (2), а  ' – оператор, определенный системой Dпо формуле (X) = ∩{Y D | Y

X}. Как только что было показано, D тогда также определяется оператором  ', и, следовательно,

(X) =X

'(X) =X. (3)

В силу J. 3, (X) = (X); поэтому из (3) вытекает, что  '(X) = (X). Но X

(X) и, применяя  ' получаем  '(X)  '(X) = (X), а обратное включение следует из соображений симметрии. ▲

Системы замыканий и операторы замыкания могут быть определены на любой полной решётке L и соотношения между ними, установленные в теореме 1, сохраняются.

На самом деле теорема 1 является частным случаем соответствующей теоремы (при L = B (A)) для произвольной полной решётки L.

Элементы системы D называются замкнутымимножествами множества A, а (X) называется замыканием множества X в A ((X) на самом деле замкнуто в силу J. 3). Как было отмечено, D является полной решеткой относительно

. Точнее, если задано некоторое семейство (X_i)_i

_I в D, то множество ∩X_i будет наибольшим замкнутым множеством, содержащимся во всех множествах X_i, а ∩{Y D | Y

X_i для всех i

I} – наименьшим замкнутым множеством, содержащим все множества X_i.

§3. Алгебраические системы замыканий

Начнем с понятия алгебраической операции.

Пусть A – универсальная алгебра с множеством алгебраических операций Ω. Каждая операция ω из Ω имеет определённую арность n, n

N

{0}.

Для любого натурального nn-арная операция ω – это отображение из Aⁿ в A, то есть каждой упорядоченной n-ке {a₁; …; a_n}

Aⁿ операция ω ставит в соответствие однозначноопределённый элемент ω(a₁; …; a_n) из A.

В случае п = 1 это будет любое преобразование множества A(отображение Aв себя).

Если n = 0, то a⁰ – это одноэлементное множество и 0-арная операция ω переводит элемент a⁰ в некоторый элемент ω(a⁰) = ω из A, то есть 0-арная операция ω фиксирует некоторый элемент в A: является некоторым выделенным элементом алгебры A.

Если дана универсальная алгебра Aс множеством алгебраических операций Ω, то подмножество B

A называется подалгебройалгебрыA, если оно замкнуто относительно всех операций из Ω. Иными словами, для любого ω Ω, n 1, и любых а₁, а₂, …, а_п

Bдолжно быть

ω(а₁, а₂,…, а_п)

B.

С другой стороны, элементы, отмечаемые в Aвсеми 0-арными операциями из Ω (если такие существуют), должны содержаться в подалгебре B.

Очевидно, что пересечение любой системы подалгебр универсальной алгебры A, если оно не пусто, будет подалгеброй этой алгебры.

Отсюда следует, что если X– непустое подмножество алгебры A, то в Aсуществует наименьшая среди подалгебр, содержащих целиком множество X. То есть существует наименьшая подалгебра в A, содержащая X и она равна пересечению всех подалгебр алгебры A, содержащих X. Обозначим её через

и назовём подалгеброй, порожденной множеством X.

Стоит отметить, что пересечение подалгебр может быть пустым, если множество алгебраических операций Ω алгебры не содержит 0-арных операций.

Заметим, что системаS(А) всехподалгебралгебрыAявляетсяалгебраическойсистемойзамыканий, то есть соответствующий оператор замыкания X

является алгебраическим.

Очевидно, что соответствие X

является оператором замыкания. Проверим, является ли он алгебраическим.

Возьмём a

, тогда a будет принадлежать и , где – конечное подмножество множества X, так как элемент a получается путём применения конечного числа конечноместных n-арных операций ω Ω.