Алгебраические системы замыканий (стр. 5 из 8)

Идеал P кольца Rназовём простым, если для

a, b R: a∙b P a P или b P.

Возьмем простой идеал P кольца R. Поставим ему в соответствие множество P^* = {y

R: x

y для всех x

P} = R\P – замкнутое относительно умножения.

Возьмем мультипликативно замкнутое подмножество Y. Поставим ему в соответствие множество Y ^* = {x

R:x

y для всех y

Y} = R\Y – простой идеал.

Покажем выполнимость свойств.

Если P₁

P₂, то R\P₁

R\P₂ − очевидно, так как R\P₁ является дополнением к P₁, а R\P₂ – дополнением к P₂. Аналогично для Y ₁

Y ₂.

Возьмем подмножество P из множества простых идеалов R. Поставим ему в соответствие множество P^* = R\P, а P^* поставим в соответствие P^** = R\(R\P) = P

P

P^**.

Аналогично доказываются эти свойства для Y ₁

Y ₂.

Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.

Пример 4.2: В кольце Aкаждому его подмножеству X отвечает (левый) аннулятор, состоящий из тех элементов a

A, для которых a∙x= 0 для каждого x из X:

AnnХ = {a

A|

x

Xa∙x = 0}.

Для подмножества X множества A определим подмножество X^* множества A равенством

X^* = {a

A | a∙x = 0 для всех x X} = AnnХ

и аналогично для любого идеала Iкольца A определим подмножество I^* множества A равенством

I^* = {x

A | a∙x = 0 длявсехa I} = AnnI.

Заметим, что в этом примере Ф = {(a, b)

A² | a∙b = 0}.

Таким образом, построены отображения X

X^* = AnnХ, I

I^* = Ann I. Проверим, является ли построенное соответствие соответствием Галуа.

1) Пусть X₁

X₂. Тогда X₁

Ann Х₁ = {a

A | a∙x = 0 для всех x X₁} и X₂

Ann Х₂ = {a A | a∙x = 0 для всех x X₂}. Пусть a

Ann Х₂, aХ₂ = 0, X₁

X₂

aХ₁ = 0 a

Ann Х₁. Следовательно, AnnХ₁ AnnХ₂ или X₁^*

X₂^*. Для I₁

I₂ аналогично получаем I^*₁

I ^*₂.

2) Поставим множеству X в соответствие множество X^* = AnnХ = I, а X^* поставим в соответствие I^* = AnnI = Ann(AnnХ). Если x

Х, тогда a∙x = 0 для

a

Ann Х x

Ann(Ann Х). Следовательно, X

X^**.

Аналогично получаем I

I^**, если поставить множеству I в соответствие множество I^* = AnnI = X, а I^* поставить в соответствие X^* = AnnX = Ann(AnnI).

Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.

Пример 4.3:В группе G каждому подмножеству A соответствует централизатор C, который состоит из всех элементов c, коммутирующих с каждым элементом a из A:

C = {c

G: длявсехa Aa · c = c · a}.

Пример 4.4:В евклидовом пространстве V каждому подмножеству A множества V отвечает множество, состоящее из всех векторов, ортогональным векторам из A:

A

= {a

A: для всех x Vx a},

так что определена связь Галуа для подмножеств V. Здесь x

a означает равенство 0 скалярного произведения (x, a).

Последние два примера обосновываются аналогично примеру 4.2.

Чтобы установить связь соответствий Галуа с системами замыканий, заметим, что при любом соответствии Галуа отображение X

X^** будет оператором замыкания в A, а Y

Y^** оператором замыкания в B(в силу (7) – (9)). При этом отображения X

X^*, Y

Y^* определяют взаимно однозначное соответствие между двумя этими системами замыканий.

Чтобы иметь более непосредственное описание алгебраических систем замыканий, нам необходимо еще одно определение.

Определение 8. Непустая система D подмножеств множества A называется индуктивной, если каждая цепь в D обладает точной верхней гранью в D.