Алгебраические системы замыканий (стр. 6 из 8)

В силу предложения 2 (примененного к B (A)) слово «цепь» здесь можно заменить словами «направленное множество».

Таким образом, мы получили следующую характеризацию алгебраических систем замыканий:

Теорема 3.Система замыканий является алгебраической тогда и только тогда, когда она индуктивна.

Доказательство:

∆Пусть D − алгебраическая система замыканий на некотором множестве, K − цепь в D и K = supK. Для доказательства включения K

D нужно только проверить, что (H) K для каждого конечного подмножества H множества K. Пусть H={x₁, …, x_n}; тогда каждое x_i принадлежит некоторому члену цепи K, а так как K − цепь, то можно найти член L

K, содержащий все x_i. Тогда H L

K и L

D; следовательно, (H) (L) = L

K, то есть (H)

K, что мы и хотели показать.

Обратно, пусть D – индуктивная система замыканий на A и  – соответствующий оператор замыкания. Нужно показать, что для любого X

A

(X) = sup {(F) | F

X, F конечно}.

Пусть K = {(F) | F

X, F конечно} для фиксированного X

A; тогда нужно показать, что supK

D. Отсюда будет следовать, что supK= (X), поскольку sup K является наименьшим замкнутым множеством, содержащим все элементы множества X. Теперь для любых Y, Z

A имеем

(Y)

(Z)

(Y

Z),

и если Y, Z – конечные подмножества множества X, то Y

Z также конечно. Это показывает, что K направлено, и, следовательно, supK

D, что и утверждалось. ▲

Используя предложение 2, получаем

Следствие 1.ЕслиD – алгебраическаясистемазамыканийнаAиK – направленнаяподсистемасистемыD, тоsupK

D.

Доказательство:

∆ Из леммы Цорна вытекает, что каждая непустая индуктивная система подмножеств множества A содержит максимальное подмножество.

Это приводит к следствию 2 из теоремы 2, в котором содержатся наиболее важные применения леммы Цорна к алгебре.

Следствие 2.ПустьD – алгебраическаясистемазамыканийвA, ипусть A₀, A₁,B – такие подмножества множества A, что B

Dи B

A₁ = A₀. Тогда D содержит элемент C, который является максимальным в D относительно свойств C

B, C

A₁ = A₀.

Доказательство:

∆ Для доказательства этого утверждения возьмём систему D ' всех таких множеств X

D, что X

B и X A₁ = A₀, и покажем, что D ' обладает максимальным элементом. Во-первых, D ' ≠ , так как B D '. Пусть теперь (X_i) – некоторая цепь в D ' и положим X = supX_i. Тогда X D, так как система D индуктивна. Далее X B и X A₁ = A₀; поэтому X D '. Таким образом, система D ' индуктивна, и по лемме Цорна D ' обладает максимальным элементом. ▲

§ 5. Задачи

Задача 1. Установить, что при соответствии Галуа X

X^*, Y

Y^* выполняется тождество (

X_i)^* = X_i^*, для произвольных семейств подмножеств (X_i)i

I.

Решение:

Без ограничения общности возьмём два множества X₁ и X₂ и покажем, что (X₁

X₂)^* = X₁^* X₂^*.

Множеству X₁ поставим в соответствие множество X₁^*:

X₁^* = {y₁

B|(x₁, y₁) Ф для всех x₁ X₁}.

Аналогично для множества X₂:

X₂^* = {y₂

B|(x₂, y₂) Ф для всех x₂ X₂}.

Пусть X₃ =X₁

X₂. Тогда (X₁ X₂)^* или X₃^* будет иметь следующую структуру: X₃^* = {y₃ B|(x₃, y₃) Ф для всех x₃ X₃} или другими словами это такие y₃ из B, что пары (x₁, y₃) и (x₂, y₃) должны принадлежать соответствию Ф одновременно для всех x₁ и x₂ из X₁ X₂. То есть множество элементов y₃ из B это множество, состоящее из элементов y₁ X₁^* и y₂ X₂^*, которые одновременно должны удовлетворять соотношениям (x₁, y₁) Ф, (x₁, y₂) Ф, (x₂, y₁) Ф, (x₂, y₂) Ф. То есть элементы y₃ принадлежат пересечению множеств X₁^* и X₂^*, что и требовалось показать.

Задача 2. Пусть X

H(X) – произвольное отображение множества B (A) в себя. Показать, что (X) = H(X)

X определяет оператор замыкания тогда и только тогда, когда X

(Y) влечёт (X)

(Y).