Алгебраические уравнения (стр. 2 из 3)
а
б в
Рис.2.
2. Напишите формулу разложения вектора по трем взаимно перпендикулярным осям координат.
3. Как определяется вектор через координаты его начала и конца?
Пусть известны координаты начала вектора А (x1, y1, z1) и его конца В (x2, y2, z2). Точки А и В определяют радиус вектора
и 
.  |
рис. 3
Из треугольника ОАВ следует, что
, отсюда 
.Если обозначить через X, Y, Z- координаты вектора
, т.е. = (X, Y, Z), то следует, чтоX=х2-х1
Y=у2-у1
Z=z2-z1
Чтобы найти абсциссу вектора Х, необходимо из абсциссы конца вектора вычесть абсциссу начала вектора.
3. Какой вид имеет уравнение прямой в плоскости, проходящей через две точки?
4. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?
2 уровень
1. Напишите разложение вектора по трем взаимно перпендикулярным осям координат.
| Координаты вектора | X | -2 |
| Y | 4 | |
| Z | 7 |
A (-2, 4,7) означает, что абсцисса точки Ax=-2, ордината у=4, аппликата z=7.
2. Чему равно скалярное произведение векторов
и 
? Данные для варианта взять из таблицы 2.3 Координаты вектора  | X | -2 |
| Y | 4 | |
| Z | 7 | |
Координаты вектора  | X | 3 |
| Y | 6 | |
| Z | 4 |
Т.к. векторы заданы в координатной форме, то по формуле
имеем:
3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых l1 и l2 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный d.
| Уравнение прямой l1 | Уравнение прямой l2 | d | Координаты точки Р | |
| x | y | |||
| 3x-2y-7=0 | x+3y-6=0 | 3 | 2 | 5 |
Отсюда находим х = 6 - 3у
x = 3
Значит точка пересечения двух прямых A (3;1)
По условия отрезок равен 3, значит координата точки B (3; 0).
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки А и В.
Здесь знаменатель равен нулю. Полагаем числитель левой части равным нулю.
Получаем
4. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный d и проходящей параллельно прямой l1.
| Уравнение прямой l1 | Уравнение прямой l2 | d | Координаты точки Р | |
| x | y | |||
| 3x-2y-7=0 | x+3y-6=0 | 3 | 2 | 5 |
Найдем две точки прямой 3x-2y-7=0
Подставим в уравнение х=1 и х=3 и получим значения у соответственно - 2 и 1.
A (1; - 2) и B (3;1).
Координаты направляющего вектора
найдём по координатам конца и начала вектора 
Подставляя в формулу
координаты точки O (0;3)
И координаты вектора
получим искомое уравнение прямой 
или 
.2 семестр 4 кредит 1 уровень.
1. Как определяются горизонтальные асимптоты функции?
В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при
, она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота - частный случай наклонной асимптоты; прямая y = с = constявляется горизонтальной асимптотой графика y = f (x) при 
или 
, если 
Или
соответственно.
2. Что такое частное приращение функции нескольких переменных?
Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных
в точке 
частные производные определяются так: 
, 
,если эти пределы существуют.
Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная
- угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости 
в соответствующей точке.3. Каковы выражения для частных дифференциалов функции z=f (x,y)?
Частной производной по x функции z = f (x,y) в точке M0 (x0,y0) называется предел
,если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:
; 
; 
.Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f (x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.
Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f (x,y) в точке M0 (x0,y0):
= 
.Приведем примеры вычисления частных производных/
4. Каково выражение для полного дифференциала функции u=u (x,y,z)?
Полный дифференциал du функции u = f (x,y,z) (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов: