Аналитический метод в решении планиметрических задач (стр. 5 из 6)

Определение. Параболой называется совокупность всех точек, равноудаленных от данной точки этой плоскости (называемой фокусом параболы) и от данной прямой (называемой директрисой). При этом предполагается, что фокус не лежит на директрисе.

Каноническая система координат для параболы вводится следующим образом: её ось Ох проходит через середину О отрезка оси Ох, заключенного между F и d перпендикулярно оси Ох.

Теорема. В канонической системе координат уравнение параболы может быть записано в следующем виде:

. (6)

Доказательство. Пусть - расстояние от фокуса F до директрисы d (называется параметром параболы ). Тогда , где . Пусть М (х, у) – текущая точка параболы . Найдем расстояния, участвующие в определении параболы:

где . Тогда по определению параболы имеем:

По этому уравнению легко устанавливаются следующие свойства параболы: парабола расположена в правой полуплоскости

, проходит через начало координат О(0, 0) и имеет ось Ох своей осью симметрии.

II. ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

Мысль о возможности систематического применения метода координат в научных исследованиях зародилась несколько тысяч лет тому назад. Известно, например, что астрономы древнего мира, используя специальные системы координат на воображаемой небесной сфере, определяли положение наиболее ярких звёзд, составляли карты звёздного неба, вели отличавшиеся большой точностью наблюдения за перемещением Солнца, Луны и планет относительно неподвижных звёзд. В более позднюю эпоху широко развилось использование системы географических координат для составления карт земной поверхности и определения местонахождения корабля в открытом море. Однако до XVII века применение метода координат имело односторонний характер: им пользовались, по сути, только для указания положения определённого объекта — неподвижного (гора, мыс) или движущегося (корабль, планета). Новое, исключительно плодотворное применение получил метод координат в книге французского философа и математика Рене Декарта «Геометрия», изданной в 1637 году. Декарт выяснил важное значение понятия переменной величины. Занимаясь изучением наиболее употребительных линий, Декарт заметил, что координаты точки, перемещающейся по данной линии, связаны определённым уравнением, вполне характеризующим эту линию. Так был найден способ изучения линий по их уравнениям, положивший начало аналитической геометрии и способствовавший развитию других математических наук. «Поворотным пунктом в математике, — писал Энгельс, — была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и

интегральное исчисление». Математической основой аналитической геометрии является своеобразный способ определения геометрических фигур: фигура задаётся уравнением. Возможны два подхода к выяснению сущности этого способа. Рассматривая точку с переменными координатами х, у, связанными некоторым уравнением, мы замечаем, что она перемещается в плоскости с изменением её координат, но пробегаемый ею путь не будет произвольным, так как данное уравнение устанавливает зависимость между величинами х и у. Иными словами, уравнение играет роль как бы рельсов, направляющих движение точки по Возможно, однако, не связывать задание фигуры уравнением с представлением о движущейся точке, описывающей эту фигуру подобно трассирующей пуле, оставляющей светящийся след, или подобно перу сейсмографа, вычерчивающему линию, отображающую колебания земной коры. Можно рассматривать уравнение как средство для отбора точек, составляющих определяемую уравнением фигуру: отбираются те точки плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Использование метода координат при решении планиметрических задач состоит из следующих этапов:

1) вводят удобным образом систему координат, чаще всего декартову;

2) условие задачи и её заключение переводят на соответствующий язык, записывая их в координатной форме;

3) доказывают или вычисляют требуемое с помощью соответствующего алгебраического аппарата;

4) полученный результат формулируют (интерпретируют) в терминах задачи.

Задача 1. Даны вершины треугольника А (5; -1), В(-1; 7), С (1; 2). Найти длину его внутренней биссектрисы, проведенной из вершины А.

Решение. Обозначим через М точку пересечения указанной биссектрисы со стороной ВС, через c и b — длины сторон АВ и АС. Как известно из элементарной геометрии, биссектриса, проведенная из какой-нибудь вершины треугольника, делит противолежащую этой вершине сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, точка М делит отрезок ВС в отношении

, где

Находим длины сторон АВ и АС

, .

Следовательно,

= 2. Находим координаты точки М:

Получаем искомую длину биссектрисы

Задача 2. Докажите, что если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобочная.

Решение. Введем декартову систему координат, начало которой поместим в середину нижнего основания, а ось Ох направим вдоль нижнего основания (рис.1). Тогда для координат вершины трапеции будем иметь:

А (-а, 0), D (а, 0), В (а, 1), С (с, 1)

(считаем что единица масштаба по оси Оу равны высоте трапеции). По условию, АС = ВD, или в координатах: . Отсюда (возведем это равенство квадрат):

а² + 2ас + с² + 1 = а² – 2аb + b² + 1, или (с + b)(2а + с - b) = 0.

Второй сомножитель явно равен 0. Следовательно, b + с = 0, и значит,

b = - с и АВ = DC, т.е. трапеция равнобочная.

Задача 3. Дана декартова прямоугольная система координат. Вывести уравнение окружности, которая имеет центр и радиус, равный r (рис. 2).

Решение. Обозначим, буквой М переменную точку, буквами х, у — ее координаты (т. е. текущие координаты). Данная окружность есть геометрическое место точек, каждая из которых отстоит от точки С на расстоянии r; таким образом, точка М находится на данной окружности в том и только в том случае, когда

СМ = r. (1)

По формуле имеем

. Заменяя этим выражением величину СМ в равенстве (1), получаем

.

Мы нашли уравнение, которое связывает величины х, у и которому удовлетворяют координаты тех и только тех точек, что лежат на данной окружности. Это и есть, следовательно, искомое уравнение. Задача решена.

Задача 4. Даны уравнения двух окружностей

и . Найти точки их пересечения.

Решение. Раскрывая скобки и перенося все члены в левую сторону, можем записать данные уравнения в виде:

, . (1)

Вычтем из первого уравнения второе; получим:

или . Объединяя это уравнение с первым из данных, составим систему

(2)