Асимптотика решений дифференциальных уравнений (стр. 3 из 6)

о о по нормали в точке (х, у, z) к фазовой траектории системы (2.2), проходящей через эту точку. Уравнение этой поверхности имеет вид:

Следовательно, точка (х, у, z, h) эвклидова пространства £"₂+z переменных х, у, z, hудовлетворяет системе

Левые части системы (2.5) определены и непрерывны вместе со всеми своими частными производными в области Г: (#, у, z) £ G, —ос <^ /г<^оо. Якобиан системы (2.5)

отличен от нуля в точке (х, у, z, /г), так как точка (х,?/, z) не является положением равновесия системы (2.2). Поэтому, по теореме о неявных функциях, в некоторой окрестности Г° точки (х, у, z, h) (Г°С Г) система (2.5) разрешима относительно х и у:

причем

являются однозначными функциями от /г, zi,..., z_x, непрерывными по совокупности этих переменных вместе со всеми своими первыми частными производными. Следовательно, целые фазовые траектории системы (2.2), проходящие через точки

составляют искомую окрестность Gтраектории (2.4). Пусть

— решение системы (2.2) с начальными условиями

Решение (2.6) системы (2.2) является периодическим, поскольку описывает замкнутую траекторию (2.3). Тогда, полагая получим:

2. Изучение системы (2.1). Исследуем решение

системы (2.1) с начальными условиями

на конечном промежутке времени Uo, L]. Имеет место

ТЕОРЕМА 1. Пусть функции 1

определены и непрерывны в

вместе со всеми своими частными произвооными до второго'порядка включительно, а функции

непрерывны в

вместе со всеми своими первыми частными производными. Тогда существует число такое, что при любом на конечном промежутке времени [to, L]:

1) решение

системы (2.1) остается в G и функции h

с точностью до величин порядка О (г) совпадают соответственно с функциями представляющими собой решение следующей автономной системы не зависящих от е обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых выражаются через правые части системы (2.1):

циал дуги фазовой траектории (2.3), интегрирование ведется при произвольно фиксированной паре

Предполагаем, что решениесистемы

(2.8)

имеет начальныезначения

2) Функции х (I, е), у (г, е) с точностью до величин порядка О (е) совпадают соответственно с функциями

Здесь ф₀ определяется из соотношений постоянная величина, v(t, e) — решение уравнения:

Доказательство. Прежде всего установим ряд свойств решения (2.6) системы (2.2), имеющих место при тех требованиях гладкости, которые указаны в формулировке теоремы 1.

Свойство 1. Периодом решения (2.6) является функция

следовательно, эта функция непрерывна в G_h вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно. Действительно, из (2.2) следует соотношение интегрирование которого дает формулу (2.9). Из указанной в условиях теоремы гладкости функций

следует соответствующая гладкость функции Т(h, z) в G_h.

Свойство 2. Функции

определены и непрерывны в области —

вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно.

В самом деле, в силу указанной гладкости правых частей системы (2.2), из (2.5), по теореме о неявных функциях, следует, что функции а (/г, z), Р (/г, z) непрерывны в G_hвместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно. Далее, из теорем о существовании и единственности, о непрерывности и непрерывной дифференцируемости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений по начальным значениям и по параметрам следует, что функции

вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно, непрерывны в области —

. Следовательно, функции

обладают свойством 2 как сложные функции.!

Свойство 3. Пусть D— некоторая ограниченная замкнутая об
ласть, содержащаяся в G_h. Тогда на множестве —

функции

вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно ограничены.

Свойство 3 является следствием свойства 2, так как периодичность функций

позволяет рассматривать их в замкнутой и ограниченной области

Свойство 4.

так как решение (2.6) описывает фазовую траекторию (2.3). Дифференцирование соотношения (2.10) по Zjдает Свойство 5.

(2.10)

где

(2.11)

Свойство 6.

(2.12)

Свойство 8, Для любой функции y(х, у, z), непрерывной в G, справедливо равенство

где

и интегрирование ведется при произвольно фиксированных

Действительно, вдоль траекторий (2.3), в силу (2.7) и свойства 6, имеем:

что дает:

Перейдем к непосредственному изучению системы (2.1). Заменим переменные х, 2/,%,..., Ziпеременными ф, /?, z,,..., z&bsol; по формуле:

что, в силу (2.10), дает: