Асимптотика решений дифференциальных уравнений (стр. 5 из 6)

Определение. Будем ряд

называть асимптотическим рядом для функции

, если для любого

найдутся числа

и

такие, что

при (2.1)

Пример 1. Если функция

имеет производные всех порядков в точке , то справедливо формула Тейлора

(2.2)

Ряд Тейлора

может расходиться на любом отрезке , но он будет асимптотическим рядом для функции . Действительно,

(2.3)

Пример 2. Рассмотрим функцию

Интегрируя по частям, получаем

Таким образом,

Ряд

расходится при любом , но является асимптотическим для функции , так как

Замечание. Асимптотический ряд может быть полезен при вычислении значений функции при малых или больших значениях параметра.

Рассмотрим функцию примера 2. Вычисляя интеграл численно, получаем при

Вычисляя частичные суммы асимптотического ряда и оценивая разности

, получаем первые 20 чисел

0.0015633, -0.0004366, 0.0001633, -0.0000766, 0.0000433, -0.0000287, 0.0000217,

-0.000186, 0.0000177, -0.0000186, 0.00002133, -0.0000266, 0.0000357, -0.0000515,

0.0000793, -0.0001299, 0.0002257, -0.0004145, 0.0008020

Наилучшее приближение дает девятая частичная сумма.

На рис. 1 изображен графически характер приближения частичных сумм к значению

. На горизонтали оси откладывается номер , по вертикали частичная сумма .

рис. 1

Пусть

банаховы пространства и при задано семейство операторов . Рассмотрим при уравнение . Допустим, что это уравнение при каждом имеет единственное решение . Уравнение будем называть вырожденным. Допустим, что вырожденное уравнение имеет единственное решение . Будем говорить, что вырождение регулярное, если

при (2.4)

Если (18.4) не выполняется, то говорят, что вырождение сингулярное.

Распространена еще и такая терминология: Уравнение

называют уравнением возмущений для уравнения . Если условие (2.4) выполнено, то говорят о регулярных возмущениях. В противном случае речь идет о сингулярных возмущениях. Сам термин «теория возмущений» возник в рамках небесной механики. В следующем параграфе будет исследована задача о регулярных возмущениях для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.2 Регулярные возмущения решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши

(2.2.1)

Функция

непрерывна по переменной и бесконечно дифференцируемая по переменным и при , , .

Предполагается, что вырожденная задача

(2.2.2)

имеет единственное решение при

, причем .

Полагая

(2.2.3)

и воспользовавшись тем, что функция

удовлетворяет уравнению (2.2.2) запишем систему уравнений для функции в виде

(2.2.4)

где

(2.2.5)

(2.2.6)

Будем искать решение задачи Коши (2.1.4) в виде формального ряда по степеням малого параметра

(2.2.7)

Для определения неизвестных функций

получаем рекуррентную систему задач Коши для линейных уравнений (уравнений в вариациях)

(2.2.8)

Уравнение (2.2.8) называют уравнением в вариациях.

Вычислим две первых функции

(2.2.9)

Подставляя разложения (2.2.7) и (2.2.8) в уравнения (2.2.4),получаем рекуррентную систему уравнений

(2.2.10)

Все уравнения (2.2.4) имеют одинаковую структуру

, (2.1.11)

Столбцы фундаментальной матрицы

образуют фундаментальную систему решений. При помощи формулы Коши получим решение в виде

(2.2.12)

Линейный оператор

(2.2.13)

Покажем, что ряд (2.2.3) асимптотический для решения

. Положим