Биография и труды Колмогорова А.Н. (стр. 4 из 4)

Необходимо и достаточно для предельного постоянства сумм Y_n. В качестве С_nможно взять

. Если математические ожидания существуют, то легко указать дополнительные условия, при которых можно выбрать С_n= EY_n, что приводит к необходимым и достаточным условиям больших чисел закона в классической формулировке, т.е.

.

Для последовательности независимых одинаково распределенных величин {X_n} эти условия сводятся, в соответствии с теоремой Хинчина, к существованию математического ожидания. В то же время для предельного постоянства средних арифметических Y_nв этом случае необходимо и достаточно условие

при .

2.8.3 Теорема о применимости больших чисел усиленного закона

В случае независимых слагаемых наиболее известными являются условия приложимости больших чисел усиленного закона, установленные А.Н.Колмогоровым: достаточное (1930) – для величин с конечными дисперсиями и необходимое и достаточное (1933) – для одинаково распределенных величин (закрепляющееся в существовании математического ожидания величин X_i). Теорема Колмогорова для случайных величин X₁, X₂, …, X_n, …с конечными дисперсиями утверждает, что из условия

вытекает приложимость к последовательности X₁, X₂, …, X_n, … больших чисел усиленного закона

.

В терминах дисперсий условие

оказывается наилучшим в том смысле, что для любой последовательности положительных чисел b_nс расходящимся рядом

можно построить последовательность независимых случайных величин X_nс DX_n = b_n, не удовлетворяющую больших чисел усиленному закону. Область применения условия

может быть расширена на основе следующего замечания. Пусть mX_n – медиана X_n. Сходимость ряда

необходима для больших чисел усиленного закона. Из леммы Бореля-Кантелли вытекает, что

с вероятностью 1, начиная с некоторого номера. Поэтому при изучении условий приложимости больших чисел усиленного закона можно сразу ограничиться случайными величинами, удовлетворяющими последнему условию.

В доказательствах А.Я. Хинчина и А.Н. Колмогорова вместо сходимости ряда

устанавливается сходимость ряда

,

где n_k = 2^k. При этом А.Н. Колмогоров использовал носящее его имя неравенство для максимумов сумм случайных величин.

Заключение

И в заключении можно сказать, что А.Н. Колмогоров весьма талантливый человек и развитый во всех направлениях. Его труды привнесли много нового в развитие науки и техники. Он дал новые направления на изучение еще не открытых областей знаний.

Его достижения не прошли бесследно – при жизни он был почетным членом Институтов и университетов, а также имел огромное количество наград: премий, медалей, орденов и т.п.

Список использованной литературы

1. А.М. Прохоров, И.В. Абашидзе Математический энциклопедический словарь Москва Научное издательство «Большая российская энциклопедия» 1995

2. А.В. Прохоров Введение в теорию вероятностей Москва 1982

3. www.5ballov.ru