Смекни!
smekni.com

Бипримарные группы (стр. 10 из 15)

ЛеммаГруппы

и
не содержат бипримарные холловские подгруппы.


Доказательство. Пусть

. Тогда порядок
равен
и силовская 7-подгруппа в
самоцентрализуема. Так как порядок
больше порядка
, то
не содержит подгруппы порядка
.

Предположим, что существует подгруппа

порядка
. По теореме Силова о числе силовских подгрупп подгруппа
7-замкнута, т. е. подгруппа
порядка 7 из
инвариантна в
. Но теперь
изоморфна подгруппе группы всех автоморфизмов
, которая изоморфна
. Противоречие.

Допустим, что есть подгруппа

порядка
. Как и в предыдущем случае, подгруппа
не может быть 7-замкнутой. Так как индекс в
нормализатора
силовской 7-подгруппы сравним с 1 по модулю 7, то
и
. Поэтому 4 должно делить порядок
, а это невозможно. Таким образом, в
нет бипримарных холловских подгрупп.

Теперь пусть

. Тогда порядок
равен
, силовская 3-подгруппа
из
неабелева и
. Силовская 2-подгруппа
также неабелева и
имеет экспоненту 2. Нормализатор силовской 5-подгруппы
в
имеет порядок 20, а централизатор
в
совпадает с
[??].

Предположим, что существует подгруппа

порядка
. Тогда
3-замкнута, а так как
ненильпотентна, то
. Подгруппа
неабелева, поэтому минимальная инвариантная в
подгруппа
имеет порядок не более чем
. Теперь
изоморфна подгруппе из группы всех авторморфизмов
. Но
--- элементарная абелева, поэтому
, где
, и
имеет порядок, не делящийся на 5. Таким образом,
, но тогда
. Противоречие.

Допустим, что существует подгруппа

порядка
. Пусть
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. Так как
имеет порядок 20, то
неинвариантна в
и
есть 2-группа. По теореме Машке [??] подгруппа
есть прямое произведение неприводимых
-групп
. Подгруппа
самоцентрализуема, поэтому
не централизуют
и по [??] порядок
равен
для всех
. Следовательно,
и
. Фактор-группа
имеет порядок 20, поэтому она 5-замкнута и
инвариантна в
. Теперь
. Пересечение
инвариантно в
, поэтому
. Таким образом,
, и
изоморфна циклической группе порядка 4 из
. Это противоречит тому, что
имеет экспоненту 2.

Если G содержит подгруппу порядка

, то индекс этой подгруппы в
будет равен 5. Поэтому
изоморфна подгруппе симметрической группы
степени 5. Но порядок
больше порядка
. Противоречие.