ЛеммаГруппы
и
не содержат бипримарные холловские подгруппы. Доказательство. Пусть

. Тогда порядок

равен

и силовская 7-подгруппа в

самоцентрализуема. Так как порядок

больше порядка

, то

не содержит подгруппы порядка

.
Предположим, что существует подгруппа

порядка

. По теореме Силова о числе силовских подгрупп подгруппа

7-замкнута, т. е. подгруппа

порядка 7 из

инвариантна в

. Но теперь

изоморфна подгруппе группы всех автоморфизмов

, которая изоморфна

. Противоречие.
Допустим, что есть подгруппа

порядка

. Как и в предыдущем случае, подгруппа

не может быть 7-замкнутой. Так как индекс в

нормализатора

силовской 7-подгруппы сравним с 1 по модулю 7, то

и

. Поэтому 4 должно делить порядок

, а это невозможно. Таким образом, в

нет бипримарных холловских подгрупп.
Теперь пусть

. Тогда порядок

равен

, силовская 3-подгруппа

из

неабелева и

. Силовская 2-подгруппа

также неабелева и

имеет экспоненту 2. Нормализатор силовской 5-подгруппы

в

имеет порядок 20, а централизатор

в

совпадает с

[??].
Предположим, что существует подгруппа

порядка

. Тогда

3-замкнута, а так как

ненильпотентна, то

. Подгруппа

неабелева, поэтому минимальная инвариантная в

подгруппа

имеет порядок не более чем

. Теперь

изоморфна подгруппе из группы всех авторморфизмов

. Но

--- элементарная абелева, поэтому

, где

, и

имеет порядок, не делящийся на 5. Таким образом,

, но тогда

. Противоречие.
Допустим, что существует подгруппа

порядка

. Пусть

--- минимальная инвариантная в

подгруппа. Так как

имеет порядок 20, то

неинвариантна в

и

есть 2-группа. По теореме Машке [??] подгруппа

есть прямое произведение неприводимых

-групп

. Подгруппа

самоцентрализуема, поэтому

не централизуют

и по [??] порядок

равен

для всех

. Следовательно,

и

. Фактор-группа

имеет порядок 20, поэтому она 5-замкнута и

инвариантна в

. Теперь

. Пересечение

инвариантно в

, поэтому

. Таким образом,

, и

изоморфна циклической группе порядка 4 из

. Это противоречит тому, что

имеет экспоненту 2.
Если G содержит подгруппу порядка

, то индекс этой подгруппы в

будет равен 5. Поэтому

изоморфна подгруппе симметрической группы

степени 5. Но порядок

больше порядка

. Противоречие.