Бипримарные группы (стр. 11 из 15)

ЛеммаГруппа

содержит подгруппу порядка

и не содержит бипримарные холловские подгруппы других порядков.

Доказательство. Пусть

. Тогда порядок равен и --- дважды транзитивная группа степени 13. Поэтому стабилизатор одной точки будет холловской подгруппой порядка . Силовская 3-подгруппа в неабелева. Нормализатор силовской 13-подгруппы имеет порядок , а централизатор --- 13 [??].

Пусть

--- подгруппа порядка . По теореме Силова --- 13-замкнута. Поэтому центр неединичен. Противоречие.

Допустим, что есть подгруппа

порядка . Так как не 13-замкнута, то минимальная инвариантная в подгруппа есть 3-группа. Подгруппа абелева, поэтому . Теперь силовская 13-подгруппа централизует . Значит, центр отличен от 1. Противоречие.

5 Произведение бипримарной и примарной групп

В этом параграфе мы докажем теорему(1), сформулированную во введении.

Доказательство теоремы(3). Через

обозначим циклическую силовскую -подгруппу в . Порядки и взаимно просты, поэтому в каждая субинвариантная подгруппа факторизуема. Фактор-группа удовлетворяет условию теоремы(5). Так как , то при по индукции фактор-группа изоморфна одной из групп, перечисленных в заключении теоремы(3). Следовательно, можно считать, что .

Пусть

--- минимальная инвариантная в подгруппа. Подгруппа неразрешима и является произведением изоморфных простых групп. Порядок делится на , и силовская -подгруппа в --- циклическая, поэтому --- простая группа.

Предположим, что в

есть еще одна минимальная инвариантная подгруппа . Тогда . Но силовские -подгруппы и содержатся в циклической -группе , поэтому . Следовательно, --- единственная в минимальная инвариантная подгруппа.

Централизатор

подгруппы инвариантен в , и . Из единственности следует, что , поэтому изоморфна группе автоморфизмов .

Порядок простой группы

делится в точности на три простых числа и силовская -подгруппа в циклическая. Поэтому изоморфна , где , 7, 8, 9 или 17, , , [??]. Кроме того, --- бипримарная холловская подгруппа в . В группах , , и нет бипримарных холловских подгрупп (см. [??] и лемму (??) настоящей работы).

Если

изоморфна , или 7, то и имеет порядок 2. Поэтому либо , либо , или 7. Группа допускает единственную факторизацию, а именно . Группа допускает только две факторизации с взаимно простыми порядками факторов: и .