Смекни!
smekni.com

Бипримарные группы (стр. 12 из 15)

Допустим, что

--- собственная в
подгруппа. Если
, то
,
. Так как
, то
--- подгруппа индекса 2 в
, а
. Подгруппа
имеет единичный центр, поэтому централизатор
в
имеет порядок 1 или 2. В первом случае
и
из пункта 4) теоремы (??). Во втором случае
и силовская 2-подгруппа в
) должна быть абелевой, что невозможно. Таким образом, если
, то
, а
.

Пусть теперь

. Если
, то индекс
в
равен 2, а так как
--- совершенная группа, то
. Но это противоречит тому, что в
силовская 2-группа диэдральная. Поэтому для
одна возможность:
. Но тогда
, а
, т. е. для
возможна единственная факторизация, указанная в пункте 5).

Теперь рассмотрим случай, когда

. Эта группа допускает единственную факторизацию, указанную в пункте 3) теоремы. Пусть
. Так как
--- подгруппа индекса 3 в
, то
. Причем
, а
. Но тогда
--- силовская 3-подгруппа из
.

Осталось рассмотреть случай, когда

. Так как индекс
в группе автоморфизмов
равен 2, то либо
, либо
. Но в
нет подгрупп индекса 13.

Применяя лемму (??), заключаем, что

из пункта 7) теоремы. Теорема (??) доказана полностью.

Следствие Пусть группа

является произведением бипримарной подгруппы
с неединичной циклической силовской подгруппой
и примарной подгруппы
. Тогда, если порядок
не равен 3 или 7, то
разрешима.

Доказательство. Пусть

--- контрпример минимального порядка. Так как фактор-группа
неразрешима, то из теоремы 2 следует, что она изоморфна
, где
, 7 или 8;
,
или 7;
. Поэтому порядок
-группы
равен 3 или 7. Значит,
или 7,
.

Пусть

--- минимальная разрешимая инвариантная в
подгруппа. Ясно, что
есть
-группа, а так как
циклическая, то
порядка
. Централизатор
подгруппы
инвариантен в
, поэтому
. Кроме того,
. Если
, то
разрешима по индукции, a
примарна или бипримарна, т. е. разрешима и
, противоречие. Следовательно,
, и
содержится в центре
группы
.

Пусть

--- коммутант группы
. По [??] пересечение
равно 1. Значит,
не содержится в
. Из цикличности
следует, что подгруппа
имеет порядок, не делящийся на
, т. е.
разрешима. Теперь и
разрешима, противоречие. Следствие доказано.

Группы Шмидта и

-квазинильпотентные группы обладают неединичной циклической силовской подгруппой. Поэтому следствие обобщает результаты И. П. Д окторова [??] и М. И. Кравчука [??].