Допустим, что теорема неверна и группа
--- контрпример минимального порядка. Пусть --- циклическая силовская -подгруппа в , а , где --- силовская 2-подгруппа в , --- ее инвариантное дополнение в . В силу леммы (??) условие теоремы выполняется для , поэтому мы можем считать, что .Пусть
--- минимальная инвариантная в подгруппа. Тогда неразрешима, и по лемме (??) порядок делится на . Силовская -подгруппа циклическая, поэтому --- простая группа. Теперь, если --- другая инвариантная в подгруппа, то силовская -подгруппа пересекается с не по единице. Из минимальности следует, что содержится в . Таким образом, --- единственная минимальная инвариантная в подгруппа. Так как централизатор подгруппы инвариантен в и пересекается с по единице, то и . Следовательно, изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы .Если
--- собственная в подгруппа, то по индукции изоморфна . Но тогда изоморфна , противоречие.Таким образом,
--- простая группа. В силу теоремы (??) подгруппа неединична.Введем следующие обозначения:
--- минимальная инвариантная в подгруппа, --- силовская подгруппа из , содержащая , . Так как инвариантна в , то .Допустим, что
. Напомним, что --- наибольшая инвариантная в группе -подгруппа. Так как и , то и . Поэтому . Пусть . Покажем, что для всех . Возьмем произвольный элемент , . Тогда , поэтому для некоторого . Теперь . Так как инвариантна в , то . По теореме Гольдшмидта получаем, что либо абелева, либо изоморфна или . Если абелева, то группа разрешима, противоречие. Так как , то изоморфизм с группами и ) невозможен.Таким образом,
. Группа , и не содержит подгрупп, инвариантных в . По лемме 1 из [??] группа неразрешима. Значит, бипримарна, и делит порядок . По индукции изоморфна или .Допустим, что
имеет четный порядок. Подгруппа факторизуема, a инвариантна в , значит, и . Если содержит неединичную подгруппу, инвариантную в , то и содержит подгруппу, инвариантную в , противоречие. По лемме 1 из [??] подгруппа неединична, противоречие. Следовательно, порядок нечетен.