Смекни!
smekni.com

Бипримарные группы (стр. 13 из 15)

6. Доказательство теоремы (3)

Допустим, что теорема неверна и группа

--- контрпример минимального порядка. Пусть
--- циклическая силовская
-подгруппа в
, а
, где
--- силовская 2-подгруппа в
,
--- ее инвариантное дополнение в
. В силу леммы (??) условие теоремы выполняется для
, поэтому мы можем считать, что
.

Пусть

--- минимальная инвариантная в
подгруппа. Тогда
неразрешима,
и по лемме (??) порядок
делится на
. Силовская
-подгруппа
циклическая, поэтому
--- простая группа. Теперь, если
--- другая инвариантная в
подгруппа, то силовская
-подгруппа
пересекается с
не по единице. Из минимальности
следует, что
содержится в
. Таким образом,
--- единственная минимальная инвариантная в
подгруппа. Так как централизатор
подгруппы
инвариантен в
и пересекается с
по единице, то и
. Следовательно,
изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы
.

Если

--- собственная в
подгруппа, то по индукции
изоморфна
. Но тогда
изоморфна
, противоречие.

Таким образом,

--- простая группа. В силу теоремы (??) подгруппа
неединична.

Введем следующие обозначения:

--- минимальная инвариантная в
подгруппа,
--- силовская подгруппа из
, содержащая
,
. Так как
инвариантна в
, то
.

Допустим, что

. Напомним, что
--- наибольшая инвариантная в группе
-подгруппа. Так как
и
, то и
. Поэтому
. Пусть
. Покажем, что
для всех
. Возьмем произвольный элемент
,
. Тогда
, поэтому
для некоторого
. Теперь
. Так как
инвариантна в
, то
. По теореме Гольдшмидта получаем, что либо
абелева, либо
изоморфна
или
. Если
абелева, то группа
разрешима, противоречие. Так как
, то изоморфизм
с группами
и
) невозможен.

Таким образом,

. Группа
, и
не содержит подгрупп, инвариантных в
. По лемме 1 из [??] группа
неразрешима. Значит,
бипримарна, и
делит порядок
. По индукции
изоморфна
или
.

Допустим, что

имеет четный порядок. Подгруппа
факторизуема, a
инвариантна в
, значит, и
. Если
содержит неединичную подгруппу, инвариантную в
, то и
содержит подгруппу, инвариантную в
, противоречие. По лемме 1 из [??] подгруппа
неединична, противоречие. Следовательно, порядок
нечетен.