Теперь силовская 2-подгруппа
из изоморфна силовской 2-подгруппе из группы или , т. е. --- диэдральная группа порядка 8 или 16. Поэтому и изоморфна или , нечетное. Но этот изоморфизм ввиду невозможен. Теорема доказана.Доказательство следствия теоремы. Пусть утверждение неверно и группа
--- контрпример минимального порядка. Фактор-группа неразрешима и по теореме она изоморфна или . Поэтому порядок -группы равен 3 или 7. Значит, . Теперь, повторяя дословно второй и третий абзацы доказательства следствия теоремы, мы приходим к противоречию.Итак, в данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп. Доказываются следующие теоремы:
Теорема.Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Если подгруппы и -разложимы для каждого , то разрешима.
Теорема.Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Предположим, что и --- -замкнуты для каждого . Если и -разложимы и -разложимы, то разрешима.
Теорема.Пусть есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа, порядки и взаимно просты. Если и --- конечная неразрешимая группа, то , , и --- простое число или для некоторого простого .
Теорема.Пусть --- группа Шмидта; --- -разложимая группа, где . Если и --- простая группа, то , или и --- простое число.
Теорема.Пусть конечная группа является произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков, и пусть --- бипримарная группа, а --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если неразрешима, то изоморфна или .
Теорема.Пусть неразрешимая группа является произведением бипримарной подгруппы и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы есть циклическая, то изоморфна одной из следующих групп:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
, где --- силовская 3-подгруппа;7)
, порядок равен , а .