Смекни!
smekni.com

Бипримарные группы (стр. 14 из 15)

Теперь силовская 2-подгруппа

из
изоморфна силовской 2-подгруппе из группы
или
, т. е.
--- диэдральная группа порядка 8 или 16. Поэтому и изоморфна
или
,
нечетное. Но этот изоморфизм ввиду
невозможен. Теорема доказана.

Доказательство следствия теоремы. Пусть утверждение неверно и группа

--- контрпример минимального порядка. Фактор-группа
неразрешима и по теореме она изоморфна
или
. Поэтому порядок
-группы
равен 3 или 7. Значит,
. Теперь, повторяя дословно второй и третий абзацы доказательства следствия теоремы, мы приходим к противоречию.

Заключение

Итак, в данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп. Доказываются следующие теоремы:

Теорема.Пусть

и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
. Если подгруппы
и
-разложимы для каждого
, то
разрешима.

Теорема.Пусть

и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
. Предположим, что
и
---
-замкнуты для каждого
. Если
и
-разложимы и
-разложимы, то
разрешима.

Теорема.Пусть

есть группа Шмидта,
--- 2-разложимая группа, порядки
и
взаимно просты. Если
и
--- конечная неразрешимая группа, то
,
,
и
--- простое число
или
для некоторого простого
.

Теорема.Пусть

--- группа Шмидта;
---
-разложимая группа, где
. Если
и
--- простая группа, то
,
или
и
--- простое число.

Теорема.Пусть конечная группа

является произведением своих подгрупп
и
взаимно простых порядков, и пусть
--- бипримарная группа, а
--- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в
есть неединичная циклическая силовская подгруппа
. Тогда, если
неразрешима, то
изоморфна
или
.

Теорема.Пусть неразрешимая группа

является произведением бипримарной подгруппы
и примарной подгруппы
. Тогда, если среди силовских подгрупп группы
есть циклическая, то
изоморфна одной из следующих групп:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

, где
--- силовская 3-подгруппа;

7)

, порядок
равен
, а
.