Бипримарные группы (стр. 2 из 15)

Конечная группа называется

-разложимой для простого числа , если силовская -подгруппа выделяется в ней прямым множителем. Нильпотентная группа -разложима для каждого . Через обозначается множество всех простых делителей порядка группы .

Теорема Пусть

и

--- подгруппы конечной группы

и пусть

. Если подгруппы

и

-разложимы для каждого

, то

разрешима.

Теорема (1) обобщает известную теорему Виландта-Кегеля о разрешимости конечной группы, являющейся произведением нильпотентных подгрупп [??].

Для доказательства теоремы (2) нам потребуется следующая лемма(3), которая несколько уточняет лемму Кегеля(4). Напомним, что

--- центр , а если --- подгруппа группы , то --- наименьшая нормальная в подгруппа, содержащая . Группа называется

-замкнутой, если в ней силовская -подгруппа нормальна.

Лемма Пусть

и

--- подгруппы конечной группы

, обладающие следующими свойствами:

1)

для всех ;

2)

, где .

Тогда

.

Доказательство. Воспользуемся методом доказательства леммы Кегеля. Пусть

--- наибольшая -подгруппа, содержащая и перестановочная с каждой подгруппой, сопряженной с . Предположим, что не содержится в . Это означает, что существуют элементы и такие, что не принадлежит . Поэтому --- собственная подгруппа в и есть -группа. Кроме того, перестановочна с каждой сопряженной с подгруппой, так как этим свойством обладает . Теперь для всех , что противоречит выбору .

Итак,

. Значит, и --- нормальная в -подгруппа. Из условия 2) следует, что и . Так как и , то . Поэтому .

Лемма Пусть конечная группа

с

-замкнутыми подгруппами

и

. Если

, то

.

Доказательство. Так как

, то для всех , . Первое условие леммы (5) выполнено. Так как выполняется и второе, то .

Секцией группы

называется фактор-группа некоторой подгруппы из

. Если не содержит секций, изоморфных симметрической группе четырех символов, то называется

-свободной.