Смекни!
smekni.com

Бипримарные группы (стр. 3 из 15)

Лемма Если конечная группа

не является
-свободной, то существуют
-подгруппы
и
такие, что
нормальна в
и
.

Доказательство. По условию в группе

существует секция
, изоморфная
. Пусть
--- нормальная в
подгруппа индекса
, содержащая подгруппу
с индексом
. По лемме Фраттини
, где
--- силовская
-подгруппа из
, Так как
имеет индекс
в силовской
-подгруппе из
, то
разрешима и содержит
-холловскую подгруппу
. Кроме того,
и
.

Лемма Конечная группа, содержащая нильпотентную

-холловскую подгруппу,
-разрешима.

Доказательство. Достаточно показать непростоту группы

в случае, когда
делит
. Предположим, что
простая и
делит
. В
-свободных группах нет нильпотентных
-холловских подгрупп [??], отличных от
-силовской. Если
не
-свободна, то по лемме (??) существует ненильпотентная
-подгруппа. Это противоречит теореме Виландта [??]. Лемма доказана.

Через

обозначим произведение всех разрешимых нормальных в
подгрупп.

Лемма Пусть конечная группа

и пусть
разрешима, а
взаимно прост с
. Если в
существует нилъпотентная
-холловская подгруппа, то
разрешима.

Доказательство. Если

---
-группа, то
разрешима по лемме Сыскина(2). Пусть
делит
и
--- минимальная нормальная в
подгруппа. Если
, то
и
разрешима по индукции, поэтому разрешима и
. Пусть
. Тогда
и
имеет порядок взаимно простой с
. Значит нильпотентная
-холловская подгруппа из
содержится в
и
-разрешима по лемме(2). Из минимальности
следует, что
разрешима. Итак, в любом случае
содержит разрешимую нормальную подгруппу
. Фактор-группа
удовлетворяет условиям леммы и по индукции разрешима. Поэтому разрешима и
. Лемма доказана.

Теорема (??) вытекает из следующей более общей теоремы

ТеоремаПусть

и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
. Предположим, что
и
---
-замкнуты для каждого
. Если
и
-разложимы и
-разложимы, то
разрешима.

Доказательство индукцией по порядку

. Пусть
--- минимальная нормальная в
подгруппа. Фактор-группа
, а подгруппы
и
будут
- и
-разложимыми и
-замкнутыми для каждого
. По индукции
разрешима, а
неразрешима. Поэтому
и
. Следовательно, в
единственная минимальная нормальная подгруппа.