Бипримарные группы (стр. 4 из 15)

Пусть

и пусть и --- силовские -подгруппы из и соответственно. Так как и р-замкнуты и , то по лемме (??). Но содержит точно одну минимальную нормальную подгруппу. Поэтому либо , либо . Итак для каждого , либо не делит , либо не делит . Следовательно, порядки и взаимно просты. Но теперь --- простая группа.

Так как группа Судзуки

нефакторизуема(4), то по теореме Глаубермана (4)порядок делится на , а по теореме Фомина (2) порядок одного из факторов, пусть порядок , делится на . Теперь в существует нильпотентная -холловская подгруппа. По лемме (3)группа разрешима. Теорема доказана.

3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта

Пусть конечная группа

является произведением двух своих подгрупп и , причем есть группа Шмидта, т. е. ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Признаки разрешимости группы при дополнительных ограничениях на подгруппы и получили Б. Хупперт(2), В. А. Ведерников(4), И. П. Докторов(4), П. И. Трофимов(3). Если дедекиндова, т. е. в все подгруппы инвариантны, то простая группа описана автором в(5). Как сообщил недавно С. А. Сыскин, им изучена простая группа в случае, когда --- нильпотентная группа.

Основным результатом настоящей заметки является

ТеоремаПусть

есть группа Шмидта,

--- 2-разложимая группа, порядки

и

взаимно просты. Если

и

--- конечная неразрешимая группа, то

,

,

и

--- простое число

или

для некоторого простого

.

обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в подгруппу.

Из этой теоремы непосредственно следует описание простых групп

, если --- группа Шмидта, а --- -разложимая группа, где состоит из простых делителей порядка и 2 (см. теорему(2)). В теореме (5) доказано, что неразрешимая группа , где подгруппа есть группа Шмидта, а --- нильпотентная подгруппа, есть группа из заключения теоремы(4).

Рассматриваются только конечные группы.

обозначает порядок группы , а --- множество всех простых делителей . Если --- некоторое множество простых чисел, то --- наибольшая инвариантная в -подгруппа. --- подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами в . Остальные обозначения можно найти в [??].

Свойства групп Шмидта хорошо известны [??], наиболее полно они изложены в(5). В данной работе они используются без ссылок.

Следующие два результата о простых группах понадобятся при доказательстве.

Теорема Мазуров -- Сыскин 9Если

--- простая группа с силовской 2-подгруппой, изоморфной неабелевой силовской 2-подгруппе из группы Шмидта, то

для некоторого

.

Теорема Гольдшмидт 10Если в простой группе

силовская 2-подгруппа

неабелева и

, для всех

и некоторой абелевой неединичной подгруппы

из

, то

или

.