Смекни!
smekni.com

Бипримарные группы (стр. 5 из 15)

Лемма Пусть разрешимая группа

, где
--- группа нечетного порядка,
--- 2-замкнутая группа четного порядка и
. Если
, то

Доказательство проведем индукцией по порядку группы

. Введем следующие обозначения:
;
--- минимальная инвариантная в
подгруппа;
;
--- силовская 2-подгруппа;
--- ее дополнение. Ясно, что
. Если
, то
, отсюда и
. Пусть
и
--- минимальная инвариантная
-подгруппа в
. Тогда
и
, где
--- силовская
-подгруппа
для
. Можно считать, что
, поэтому
. Кроме того,
неинвариантна в
, значит
--- собственная в
подгруппа. Замечание Фраттини дает, что
. Теперь
и
. Так как
, то
, т. е.
--- собственная в
подгруппа. Порядки
и
взаимно просты, поэтому
. По индукции
, поэтому и
. Лемма доказана.

Доказательство теоремы(4). Допустим, что теорема неверна и группа

--- контрпример минимального порядка. Пусть
,
--- инвариантная силовская
-подгруппа,
--- силовская
-подгруппа. Так как факторгруппа группы Шмидта является либо группой Шмидта, либо циклической
-группой, то благодаря теореме В. А. Ведерникова (5)можно считать, что
.

Допустим, что группа

непроста и
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. Тогда
--- неразрешимая группа.

Предположим, что

не содержит
. Тогда
нильпотентна, а так как
, то по теореме Я. Г. Берковича (6) подгруппа
имеет четный порядок. Теперь по теореме 1 из (5) получаем, что силовская 2-подгруппа в
неабелева. Так как
, то из свойств групп Шмидта следует, что
содержится в
и
--- силовская 2-подгруппа в
. Если
непроста, то
--- неразрешимая группа, где
--- некоторая инволюция из центра
. Так как
и
--- группа Шмидта четного порядка, то по индукции
,
или
,
--- простое число. Замечая, что
и
--- абелева группа порядка 4 или
, получаем, что,
. Теперь
должно быть четным числом, значит,
. В этих случаях
и
--- группа кватернионов порядка 8, что противоречит тому, что
. Следовательно,
--- простая группа. По теореме Мазурова-Сыскина группа
изоморфна
. Поэтому
, значит,
и